[論文レビュー] A short course on positive solutions of systems of ODEs via fixed point index

Gennaro Infante|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2013

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、さまざまな境界条件を満たす常微分方程式（ODE）および関連する偏微分方程式（PDE）系における正の解の存在、多重性、非存在を確立するために、固定点指数論理の体系的応用を提示する。Krasnosel’skiï の固定点定理および指数論理を、境界値問題から導かれるハマーシュタイン積分方程式に適応することで、同心領域および外部領域における回転対称解の解析が可能となり、変換されたODE系を用いる。

ABSTRACT

We shall firstly study the existence of one positive solution of a model problem for one equation via the classical Krasnosel'ski\uı fixed-point theorem. Secondly we investigate how to handle this problem via the fixed point index theory for compact maps. Thirdly we illustrate how this approach can be tailored in order to deal with non-trivial solutions for systems of ODEs subject to local BCs. The case of nonlocal and nonlinear BCs will also be investigated. Finally we present some applications to the existence of radial solutions of some systems of elliptic PDEs.

研究の動機と目的

• 正の解をもつODE系に、特に固定点指数論理を用いた位相的アプローチを教育的フレームワークとして提供すること。
• 局所的および非局所的境界条件の下で、古典的なKrasnosel’skiï の定理をODE系に拡張すること。
• 外接領域および同心領域における楕円型PDE系の回転対称解を、変換およびグリーン関数の構成によりODE系に還元することを示すこと。
• 指数論理および錐の圧縮・拡張の議論を用いて、正の解が存在する、複数存在する、または存在しない条件を確立すること。
• 局所的および非線形境界条件の両方に適用可能な統一的アプローチを提供すること、特に三重点および非局所問題を含む。

提案手法

• 線形ODEの基本解から導かれるグリーン関数を用いて、元のBVPを同等のハマーシュタイン積分方程式に変換する。
• Banach空間における非負で連続な関数の錐を定義し、解の正の性質を保持する。
• 錐の圧縮・拡張を用いたKrasnosel’skiï の固定点定理を適用し、少なくとも1つの正の解の存在を証明する。
• コンパクト写像に対する固定点指数論理を用いて、非線形項の成長条件に基づき多重性および非存在の結果を導出する。
• 固定点定理に必要な錐の条件を満たすために、グリーン関数の明示的な下界および上界を構成する。
• 変数変換 r(t) = R₁t^{1/(2−n)} を用いて、外部領域または同心領域における回転対称PDE問題をODE系に変換し、ODE技法の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクレ条件または三重点境界条件を満たすODE系が、少なくとも1つの正の解をもつための条件は何か？
• RQ2 固定点指数論理を用いて、ODE系における正の解の多重性をどのように証明できるか？
• RQ3 非線形項およびグリーン関数にどのような条件が課されると、正の解が存在しないと保証されるか？
• RQ4 同心領域または外部領域における楕円型PDE系の回転対称解を、非局所的境界条件をもつODE系にどのように還元できるか？
• RQ5 非線形項の成長にどのような十分条件が課されると、非有界領域における正の回転対称解の存在が保証されるか？

主な発見

• 非線形項 f が特定の部分線形または超線形成長条件を満たす場合、ディリクレ条件を満たすモデルODEには正の解が存在する。これはKrasnosel’skiï の定理によって示された。
• 固定点指数論理により、非負関数の錐内での異なるアニュラス上での指数の分析を用いて、多重性の結果を導出可能である。
• 非線形項の成長が遅すぎたり速すぎたりする場合、特定の集合上での指数値に基づき、正の解の非存在が確立される。
• 三重点境界条件を満たす系では、グリーン関数が Φ₁(s) および c₁ を含む適切な下界・上界を満たす場合、正の解の存在が保証される。
• 外部領域では、非線形項 f および重み関数 h_i が h_i(r) ≤ 1/r^{n+μ_i} (r→∞ のとき) のような減衰条件を満たす場合、回転対称解が存在する。
• β ≤ 1 の場合、定数 c₁ = min{(1−η)/(1−βη), βη} がカーネルを有界化するために用いられ、β > 1 かつ β < 1/η の場合、c₁ = η となる。これにより、作用素の正値性およびコンパクト性が保証される。