[論文レビュー] A short-memory operator splitting scheme for constant-Q viscoelastic wave equation

Yunfeng Xiong, Xu Guo|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 42被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、零に近い微分の次数をもつ複数のキャプトゥー微分を用いた分数階応力-ひずみ関係を用いて、定常Q viscoelastic波方程式を解くための短記憶型作用素分割（SMOS）スキームを提案する。弱特異核をラゲール関数によって局所化する拡張法を用いて問題を再定式化することで、記憶コストと計算コストを低減しつつも、精度を維持する。主な貢献は、β > 1 のスケーリング技術により、時間に伴う投影誤差の増大を抑制し、1次元および2次元波動問題において、高い効率性と精度を有する安定な長時間シミュレーションを可能にすることである。

ABSTRACT

We propose a short-memory operator splitting scheme for solving the constant-Q wave equation, where the fractional stress-strain relation contains multiple Caputo fractional derivatives with order much smaller than 1. The key is to exploit its extension problem by converting the flat singular kernels into strongly localized ones, so that the major contribution of weakly singular integrals over a semi-infinite interval can be captured by a few Laguerre functions with proper asymptotic behavior. Despite its success in reducing both memory requirement and arithmetic complexity, we show that numerical accuracy under prescribed memory variables may deteriorate in time due to the dynamical increments of projection errors. Fortunately, it can be considerably alleviated by introducing a suitable scaling factor $\beta > 1$ and pushing the collocation points closer to origin. An operator splitting scheme is introduced to solve the resulting set of equations, where the auxiliary dynamics can be solved exactly, so that it gets rid of the numerical stiffness and discretization errors. Numerical experiments on both 1-D diffusive wave equation and 2-D constant-Q $P$- and $S$-wave equations are presented to validate the accuracy and efficiency of the proposed scheme.

研究の動機と目的

• 分数階微分の次数が非常に小さいために生じる、定常Q viscoelastic波方程式を解く際の高い記憶量と計算コストを低減すること。
• 非減衰源に起因する累積的投影誤差が原因で生じる短記憶法における時間に伴う数値精度の劣化を克服すること。
• 固有の減衰を有する波動モデルにおいて、剛性や離散化誤差を回避しつつ、効率的で安定的かつ高精度な数値スキームを開発すること。
• 分数階微分の近似における一般化ラゲール補間枠組み内でのラゲールスペクトル法の厳密な解析を提供すること。
• 実用的な地震学的応用を念頭に、1次元拡散波および2次元定常Q P波およびS波方程式に対して、本手法を検証すること。

提案手法

• 平坦な特異核を強い局所化を持つものに変換するための補助記憶変数 y ∈ (0, ∞) を用いた拡張問題を介して、定常Q波方程式を再定式化する。
• 半無限領域における弱特異積分を近似するために一般化ラゲール＝ガウス求積法を適用し、少数のコロケーション点で主要寄与を捉える。
• ラゲール関数にβ > 1 のスケーリング因子を導入し、コロケーション点を原点に近づけることで、時間経過に伴う投影誤差の動的増大を低減する。
• 波動ダイナミクスと補助記憶ダイナミクスを分離する作用素分割スキームを実装し、補助系の正確な解法を可能にすることで、数値的剛性を排除する。
• メインァリ関数の評価にハイブリッド数値的手法を用いる：小値xに対してラゲール＝ガウス求積法、大値xに対して漸近展開を用い、閾値に基づく切り替えにより精度と安定性を確保する。
• ユアン＝アグラワル法と理論的解析を組み合わせ、短記憶近似の正当化を行い、一般化ラゲール補間の文脈における誤差伝搬の定量的評価を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のキャプトゥー微分（次数が零に近い）を有する定常Q viscoelastic波方程式に、短記憶原理を効果的に適用可能か？
• RQ2 ラゲールスペクトル法に基づく短記憶スキームにおいて、投影誤差の動的増大は長時間にわたる数値精度にどのように影響するか？
• RQ3 β > 1 のスケーリング技術により、このようなスキームにおける投影誤差の時間劣化行動を顕著に抑制できるか？
• RQ4 作用素分割により、剛性や離散化誤差を導入せずに安定的かつ高精度な時間積分が可能か？
• RQ5 異なるパrameter領域において、メインァリ関数の評価に最適な戦略は何か？ これにより、強健性と精度を確保できるか？

主な発見

• 提案されたSMOSスキームは、記憶量を最小限に抑え、算術的複雑度も低く抑えつつ、1次元拡散波および2次元定常Q P波およびS波方程式のシミュレーションにおいて、高い精度と効率性を達成する。
• β > 1 のスケーリング因子の導入により、投影誤差の時間劣化行動が効果的に抑制され、長時間シミュレーションが安定化する。
• 数値実験の結果、わずか10～20個の記憶変数でさえも、3次元問題において約90 GBの記憶要件を管理可能な水準にまで削減でき、高い精度を維持することが示された。
• 作用素分割アプローチにより、波動ダイナミクスと記憶ダイナミクスがうまく分離され、補助系の正確な積分が可能となり、剛性に起因する誤差が排除された。
• 小値xに対してラゲール求積法、大値xに対して漸近展開を用い、閾値に基づく切り替えを行うハイブリッド評価戦略により、あらゆるパrameter領域で高い精度が確保された。
• 理論的解析により、誤差の増大が制御可能であることが確認され、スケーリング技術が、標準的な短記憶近似に内在する不安定性に対する実用的な解決策を提供することが示された。