[論文レビュー] A short note on additive functions on Riemannian co-compact coverings

Minh Kha|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

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ひとこと要約

本稿では、de Rham コホモロジーと調和形式を用いて、リーマン多様体の共通被覆の上での加法的関数を位相的かつ不変的に構成する手法を提示する。周期的関数を modulo した加法的関数の空間、基底上での閉1次形式でその上への持ち上げが完全であるものの空間、およびデック群から ℝ への実係数の群準同型の空間の間で、基本領域の選択に依存しない標準的な同型写像を確立する。

ABSTRACT

The main purpose of this note is to provide a topological approach to defining additive functions on Riemannian co-compact normal coverings.

研究の動機と目的

• 基本領域のような任意の選択に依存しない、リーマン共被覆上での加法的関数を定義する位相的不変な手法の開発。
• 周期的関数を modulo した加法的関数の空間と、デック群から ℝ への実係数群準同型の空間との間の標準的同型写像の確立。
• 加法的関数と基底多様体上の調和形式の間の関係を確立し、ホッジ理論を用いた標準的構成を可能にする。
• 以前の研究で概ね述べられた不変的アプローチを一般化・形式化する。
• デック群作用における所望の変換性を満たす調和加法的関数を構成するための枠組みを提供する。

提案手法

• 基底多様体 $M$ 上の閉1次形式で、その $X$ 上への持ち上げが完全であるようなもののなす空間を $\Omega^1(M;G)$ と定義する。これは、$\pi^*: H^1_{\text{dR}}(M) \to H^1_{\text{dR}}(X)$ の核として定義される。
• 各 $\omega \in \Omega^1(M;G)$ に対して、$f_\omega(x) = \int_{x_0}^x \pi^*\omega$ で定義される滑らかな関数を構成し、$f_\omega(g\cdot x) - f_\omega(x) = \text{const}$ という加法的性質を満たすことを示す。
• $\mathcal{A}(X)$ 上に、$G$-周期的関数の差に相当する関数を同一視する同値関係 $\sim$ を導入し、商空間 $\mathcal{A}(X)/\sim$ を得る。
• 写像 $\Lambda: \Omega^1(M;G) \to \mathcal{A}(X)/\sim$ を $[\omega] \mapsto [f_\omega]$ で定義し、これが同型写像であることを証明する。
• 各加法的関数に対してその関連する群準同型 $\ell_f$ を対応させる写像 $\Upsilon: \mathcal{A}(X)/\sim \to \operatorname{Hom}(G,\mathbb{R})$ を定義する。
• ホッジ理論を用いて、各コホモロジー類に調和代表元を構成し、所望の変換性を満たす調和加法的関数の存在と一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本領域の選択に依存しない、リーマン共被覆上での加法的関数の定義法は何か？
• RQ2 周期的関数を modulo した加法的関数の空間と、デック群から ℝ への実係数群準同型の空間との間の正確な関係は何か？
• RQ3 任意の $\ell \in \operatorname{Hom}(G,\mathbb{R})$ に対して、調和加法的関数を標準的に構成できるか？
• RQ4 基底多様体上の de Rham コホモロジー類は、被覆空間上での加法的関数の構造とどのように関係するか？
• RQ5 基底上での調和1次形式の引き戻しは、被覆空間上での調和加法的関数の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• $X$ に上る持ち上げが完全であるような $M$ 上の閉1次形式の空間 $\Omega^1(M;G)$ は、$\operatorname{Hom}(G,\mathbb{R})$ に同型であり、加法的関数の位相的特徴付けを提供する。
• $[\omega] \mapsto [f_\omega]$ で定義される写像 $\Lambda: \Omega^1(M;G) \to \mathcal{A}(X)/\sim$ は同型写像であり、標準的な対応関係を確立する。
• $\mathcal{A}(X)/\sim \to \operatorname{Hom}(G,\mathbb{R})$ を $f \mapsto \ell_f$ で定義する写像 $\Upsilon$ は同型写像であり、周期的関数を modulo した加法的関数が、$G$ から $\mathbb{R}$ への群準同型と一対一に対応することを確認する。
• 任意の $\ell \in \operatorname{Hom}(G,\mathbb{R})$ に対して、$f(g\cdot x) = f(x) + \ell(g)$ を満たす、定数項を除いて一意な調和関数 $f$ が $X$ 上に存在する。
• $G = \mathbb{Z}^d$ のとき、$h(g\cdot x) = h(x) + g$ を満たす滑らかな $\mathbb{R}^d$-値加法的関数 $h$ が存在し、アーベルセ・擬距離を $d_G(x,y) = |h(x) - h(y)|$ として実現する。
• 固定された基点で零となる調和関数 $f_\alpha$ を用いて、$\mathcal{A}(X) = \bigsqcup_{\alpha \in \operatorname{Hom}(G,\mathbb{R})} \{ f_\alpha + \varphi \mid \varphi \text{ は周期的} \}$ の分解が成り立つ。