[論文レビュー] A Short Note on Compressed Sensing with Partially Known Signal Support

Laurent Jacques|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2009

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 13被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、部分的に既知の信号サポートを活用することで、ノイズのある測定値からのスパースまたは可換信号の再構成を向上させる、拡張された圧縮センシング手法、革新的基底 Pursuit DeNoise (iBPDN) を提案する。未知のサポート上での ℓ₁-ノルムの最小化と、ℓ₂-適合性制約を組み合わせることで、同じ Restricted Isometry Property (RIP) 条件下で標準的 BPDN と同等の安定性保証を達成し、従来の研究をノイズありおよび可換設定へと拡張する。

ABSTRACT

This short note studies a variation of the Compressed Sensing paradigm introduced recently by Vaswani et al., i.e. the recovery of sparse signals from a certain number of linear measurements when the signal support is partially known. The reconstruction method is based on a convex minimization program coined "innovative Basis Pursuit DeNoise" (or iBPDN). Under the common $\ell_2$-fidelity constraint made on the available measurements, this optimization promotes the ($\ell_1$) sparsity of the candidate signal over the complement of this known part. In particular, this paper extends the results of Vaswani et al. to the cases of compressible signals and noisy measurements. Our proof relies on a small adaption of the results of Candes in 2008 for characterizing the stability of the Basis Pursuit DeNoise (BPDN) program. We emphasize also an interesting link between our method and the recent work of Davenport et al. on the $δ$-stable embeddings and the "cancel-then-recover" strategy applied to our problem. For both approaches, reconstructions are indeed stabilized when the sensing matrix respects the Restricted Isometry Property for the same sparsity order. We conclude by sketching an easy numerical method relying on monotone operator splitting and proximal methods that iteratively solves iBPDN.

研究の動機と目的

• 部分的に既知の信号サポートがある場合の圧縮センシングの理論的安定性を、ノイズのある測定値および可換信号に対して拡張すること。
• ノイズのある測定値および可換信号下での修正された基底 Pursuit DeNoising (BPDN) 形式の性能を分析すること。
• iBPDN が同じ RIP 条件下で標準的 BPDN と同等の安定性バウンドを達成することを確立すること。
• iBPDN を cancel-then-recover 策略と関連付け、δ-安定埋め込み下での共通の安定性を示すこと。
• 単調作用素分割および近接法に基づく、数値的に実装可能なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 既知のサポート集合 T の補集合上での信号の ℓ₁-ノルムを最小化する凸最適化プログラムとして iBPDN を提案する。
• 測定値の一貫性を保証するための ℓ₂-適合性制約を用いる：||y - Φx||₂ ≤ ε。
• iBPDN 問題を反復的に解くために、特に Douglas-Rachford 法を用いた近接分割技術を適用する。
• 未知成分における ℓ₁-ノルムの近接作用素を、Tᶜ 上でのソフトスレッショーディングに対応させる。
• 制約の実装に、測定値一貫性チューブ C(ε) = {v : ||y - Φv||₂ ≤ ε} への直交射影を用いる。
• 安定性のための条件として、s + 2k 階の Restricted Isometry Property (RIP) を用い、δs+2k < 1 を十分条件とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に既知のサポートを有する圧縮センシングは、ノイズのある測定値および可換信号に対して安定性を維持できるか？
• RQ2 iBPDN の性能は、標準的 BPDN と比較して再構成誤差バウンドの観点でどのように異なるか？
• RQ3 iBPDN と cancel-then-recover 策略との間には、安定性および RIP 要件においてどのような関係があるか？
• RQ4 iBPDN の定式化は、cancel-then-recover アプローチとは異なり、測定ノイズに対してロバスト性を示すか？
• RQ5 iBPDN は近接法を用いて効率的に解くことができ、収束保証が得られるか？

主な発見

• δs+2k < 1 の条件下で、iBPDN は可換信号の安定的回復を達成し、再構成誤差バウンドが最良の k 項近似誤差に比例する。
• 未知部の再構成誤差は、||xTᶜ - x*Tᶜ||₂ ≤ Ds,k × e₀(r,k) を満たし、Ds,k < 2(1 + (√2 - 1)δs+2k)/(1 - (√2 + 1)δs+2k) を満たす。
• 安定性条件 δs+2k < 1 は、Davenport らの結果（δs+2k < (√2 - 1)/√2）よりも弱いが、両手法とも同じ RIP に基づく安定性保証を有する。
• iBPDN は測定ノイズに対して安定性を示すが、cancel-then-recover 策略は追加のノイズバウンディングを要する。
• 提案された Douglas-Rachford アルゴリズムは iBPDN 解へ収束し、Tᶜ 上での近接作用素は成分ごとのソフトスレッショーディングにより実装される。