[論文レビュー] A Short Note on Gaps between Powers of Consecutive Primes

David Lowry-Duda|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の非負の α, β について α + β < 1 が成り立つとき、pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) の極小極限がゼロであることを証明している。これは、最近の有界素数のギャップに関する進展（例えば、Polymath8 が示した、差が 246 未満である素数の対が無限に存在すること）を活用している。この結果は、サンドールの以前の研究を強化し、アンドリカの予想および関連する予想に対する新たな証拠を提供する。

ABSTRACT

Let $α, β\geq 0$ and $α+ β&lt; 1$. In this short note, we show that $\liminf_{n o \infty} p_n^β(p_{n+1}^α- p_n^α) = 0$, where $p_n$ is the $n$th prime. This notes an improvement over results of Sándor and gives additional evidence towards a conjecture of Andrica. This follows directly from recent results on prime pairs from Maynard, Tao, Zhang.

研究の動機と目的

• 連続する素数のべきの差の増大に関する新しい境界を確立すること。
• サンドールの平方根ギャップに関する結果を、より広い範囲の指数 α と β に拡張すること。
• アンドリカの予想およびその一般化を支持する証拠を提供すること。
• 有界素数ギャップの仮定の下で、pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) の挙動を調査すること。
• このような表現の均一有界性に関するより強い予想を提示すること。

提案手法

• 関数 x ↦ x^α に対して平均値の定理を、素数 p に対する区間 [p, p+246] に適用する。
• Polymath8 の結果である、差が 246 未満である素数の対が無限に存在することを用いる。
• q ∈ [p, p+246] に対して導関数 αq^{α−1} を用いて、差 (p+246)^α − p^α を評価する。
• 得られた式 p^β × 246αq^{α−1} ≤ 246αp^{α+β−1} を推定し、p → ∞ のときの減衰を示す。
• α + β − 1 < 0 であることを利用して、極小極限がゼロであると結論づける。
• クレーマーの予想と比較し、(log p)^2 の境界を用いてギャップを推定することで、より強い予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α, β ≥ 0 かつ α + β < 1 を満たすすべての α, β に対して、式 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) の liminf はゼロに収束するか？
• RQ2 同じ指数制約のもとで、この結果を均一有界な表現に拡張できるか？
• RQ3 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) の減衰速度は、素数ギャップの大きさとどのように関係するか？
• RQ4 これはアンドリカの予想およびその一般化にどのような含意を持つのか？
• RQ5 一般化された方程式 pₙ₊₁^α − pₙ^α = C において、C に関する関数として、pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) の挙動はどのように変化するか？

主な発見

• α, β ≥ 0 かつ α + β < 1 を満たすすべての α, β に対して、pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) の極小極限は正確にゼロである。
• この結果は、1985 年のサンドールの定理（α = 1/2, β = 1/4 の場合に相当）を一般化している。
• 証明は、Polymath8 プロジェクトによって確立された、ギャップが 246 未満である素数の対が無限に存在することに依存している。
• 減衰は、246αp^{α+β−1} という評価によって示されており、p → ∞ のときゼロに収束する。
• ヒューリスティックな議論により、予想 2 — すなわち pₙ₊₁^α − pₙ^α が均一有界である — はクレーマーの予想のもとでおそらく成り立つと示唆される。
• より強い予想が提示された：α, β ≥ 0 かつ α + β < 1 を満たすすべての α, β に対して、式 pₙ^β(pₙ₊₁^α − pₙ^α) は定数 C(α, β) によって均一有界である。