[論文レビュー] A short Proof of a conjecture by Hirschhorn and Sellers on Overpartitions

Liuquan Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、HirschhornとSellersが提起した予想である、$40n+35$の過剰分割数が40で割り切れるという予想について、短く初等的な証明を提供する。著者は、5を法とする過剰分割数と3乗の和の数の間の新しい合同式を用い、$\overline{p}(n)$ に対する3、5、9を法とするRamanujan型の合同式の新たな無限族を確立する。具体的には、$\overline{p}(5^{2\alpha+1}(5n+1)) \equiv 0 \pmod{5}$ および $\overline{p}(3n) \equiv (-1)^n r_5(n) \pmod{9}$ を示し、予想を解決するとともに、その適用範囲を拡張する。

ABSTRACT

Let $\overline{p}(n)$ be the number of overpartitions of $n$, we establish and give a short elementary proof of the following congruence \[\overline{p}({{4}^{α}}(40n+35))\equiv 0 \, (\bmod \, 40),\] where $α,n $ are nonnegative integers. By letting $α=0$ we proved a conjecture of Hirschhorn and Sellers. Some new congruences for $\overline{p}(n)$ modulo 3 and 5 have also been found, including the following two infinite families of Ramanujan-type congruences: for any integers $n\ge 0$ and $α\ge 1$, \[\overline{p}({{5}^{2α+1}}(5n+1))\equiv \overline{p}({{5}^{2α+1}}(5n+4))\equiv 0 \, (\bmod \, 5).\]

研究の動機と目的

• Hirschhorn-Sellersの予想 $\overline{p}(40n+35) \equiv 0 \pmod{40}$ を、簡潔で初等的な方法で証明すること。
• 過剰分割と3乗の和の間の新しい算術的関係を確立すること：$\overline{p}(5n) \equiv (-1)^n r_3(n) \pmod{5}$。
• 3、5、9を法とする $\overline{p}(n)$ に対するRamanujan型の合同式の新たな無限族を導出すること。
• 元の予想を $\alpha \geq 0$ に対して $\overline{p}(4^\alpha(40n+35)) \equiv 0 \pmod{40}$ に一般化すること。
• 既知の合同式を拡張し、$\overline{p}(3n) \equiv (-1)^n r_5(n) \pmod{9}$ を証明することで、従来の3を法とする結果を改善すること。

提案手法

• 生成関数とシータ関数のモジュラー性を用いて、鍵となる合同式 $\overline{p}(5n) \equiv (-1)^n r_3(n) \pmod{5}$ を確立する。
• Lemma 1 を用いて $q$-級数展開を基に、$q$-Pochhammer記号のべきを素数のべきを法として簡約する。
• 特に $r_4(n)$ と $r_8(n)$ を用いた、$n$ を $k$ 個の平方の和として表す方法の数 $r_k(n)$ の既知の公式を、モジュラー算術に応用する。
• Lemma 3 を用いて、素数による乗算の下での $r_k(n)$ の乗法的性質を活用する：$r_4(pn) \equiv r_4(n) \pmod{p}$ および $r_8(pn) \equiv r_8(n) \pmod{p^3}$。
• 主な合同式と $p$-冪スケーリングにおける $r_3(n)$ の性質を組み合わせることで、新たな無限族の合同式を導出する。
• $\varphi(q)^9 \equiv \varphi(q^3)^3 \pmod{9}$ の恒等式を用いて、合同式を9を法に拡張し、Theorem 5 およびその後続の結果の証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hirschhorn-Sellersの予想 $\overline{p}(40n+35) \equiv 0 \pmod{40}$ は、短く初等的な方法で証明可能か？
• RQ2 過剰分割と5を法とする平方の和の間には、より深い算術的関係があるか？
• RQ3 $\overline{p}(5n) \equiv (-1)^n r_3(n) \pmod{5}$ の関係が、Ramanujan型の合同式の新たな無限族を生成できるか？
• RQ4 $\overline{p}(3n)$ に対する3を法とする合同式は、3から9に強化できるか？
• RQ5 $\alpha \geq 1$ に対して、$\overline{p}(5^{2\alpha+1}(5n+1)) \equiv 0 \pmod{5}$ が成り立つ新しい合同式が存在するか？

主な発見

• 著者は $\overline{p}(5n) \equiv (-1)^n r_3(n) \pmod{5}$ を証明し、過剰分割と3乗の和の間の直接的な関係を確立する。
• この関係と $r_3(n)$ の既知の性質を組み合わせることで、すべての $\alpha, n \geq 0$ に対して $\overline{p}(4^\alpha(40n+35)) \equiv 0 \pmod{40}$ を証明し、Hirschhorn-Sellersの予想を確認する。
• 本論文では、2つの新たなRamanujan型の合同式の無限族を確立する：すべての $\alpha \geq 1$ に対して $\overline{p}(5^{2\alpha+1}(5n+1)) \equiv \overline{p}(5^{2\alpha+1}(5n+4)) \equiv 0 \pmod{5}$。
• より強い合同式 $\overline{p}(3n) \equiv (-1)^n r_5(n) \pmod{9}$ が証明され、従来の3を法とする結果を改善する。
• 5を法とする新たな合同式が、$p \geq 3$ の素数および $p$ と互いに素な $N$ に対して、$\overline{p}(5p^{10\alpha+9}N)$ および $\overline{p}(5p^{8\alpha+7}N)$ について導出される。
• 9を法とする場合、$p \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $\overline{p}(3p^{6\alpha+5}N) \equiv 0 \pmod{3}$ および $\overline{p}(3p^{18\alpha+17}N) \equiv 0 \pmod{9}$ を証明する。また、$p \equiv 2 \pmod{3}$ のとき $\overline{p}(3p^{4\alpha+3}N) \equiv 0 \pmod{9}$ を示す。