[論文レビュー] A short proof of unique ergodicity of horospherical foliations on infinite volume hyperbolic manifolds

Barbara Schapira|arXiv (Cornell University)|May 21, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、測度の最大エントロピーを持つ有限測度を有するジオデシックフローと、Zariski稠密な群$Γ$を仮定することで、無限体積の双曲的多様体上の水平超曲面foliationの唯一のエルゴディシティについて、簡潔な証明を提供する。平均の等連続性とジオデシックフローの混合性を組み合わせることで、フレームバンドルの径方向部分における任意の$N$-不変な保存測度がBowen-Margulis測度に比例することを示し、スケーリングを除いて一意性を確立する。

ABSTRACT

We give a short proof of the unique ergodicity of the strong stable foliation of the geodesic flow on the frame bundle of a hyperbolic manifold admitting a finite measure of maximal entropy. Equivalently, let G = S0o(n, 1), $\\Gamma$ \ extless{} G be a discrete subgroup of G, and G = N AK the Iwasawa decomposition of G. If the geodesic flow on $\\Gamma$\\G admits a finite measure of maximal entropy, we prove that the action of N on $\\Gamma$\\G by right multiplication admits a unique invariant measure supported on points whose A-orbit does not diverge.

研究の動機と目的

• 無限体積の双曲的多様体における水平超曲面foliationの唯一のエルゴディシティに関するRoblinの結果の簡略化された証明を提供すること。
• 有限体積の設定を超えて、唯一のエルゴディシティの枠組みを拡張すること。ここでは、$A$-および$N$-エルゴディックであるような不変測度は存在しない。
• ジオデシックフローの最大エントロピー測度の条件下で、径方向集合$Ω_{rad}^{φ}$上の$N$-不変な保存測度の一意性を確立すること。
• 有限不変測度の欠如にかかわらず、等連続性と混合性の議論を用いて$N$-平均の収束を制御すること。

提案手法

• ジオデシックフローと水平曲線フローをフレームバンドル$Γ\backslash G$に引き上げるために、Iwasawa分解$G=NAK$の使用。
• Patterson-Sullivanの$δ_\u0393$-自己同型的密度および$Γ$作用とBusemann関数におけるその性質の適用。
• $N$-軌道に沿った時間平均観測値の等連続性の確立。これは$N$-球の境界測度の制御により保証される。
• ジオデシックフロー$A$作用の混合性を活用し、径方向集合のコンパクト集合上で平均の収束が一様であることを示す。
• 近似と誤差制御を用いて、横断的測度$ν_{T,t_k}$がBowen-Margulis横断的測度に弱収束することの利用。
• 部分列選択と境界測度の制御を用いて、拡大する$N$-球上の平均への問題の還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジオデシックフローに最大エントロピーの有限測度が存在する場合、無限体積の双曲的多様体上の水平超曲面foliationは唯一のエルゴディシティをもつか？
• RQ2 Roblinの結果について、無限体積設定における唯一のエルゴディシティのより簡単な証明が可能か？
• RQ3 有限不変測度が存在しない状況において、等連続性と混合性はどのように$N$-平均の収束を制御できるか？
• RQ4 径方向集合$Ω_{rad}^{φ}$は、$N$-不変測度を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 Bowen-Margulis測度は、径方向集合上での$N$-不変な保存測度として、一意に特徴付けられるか、その程度はいかほどか？

主な発見

• ジオデシックフローに有限最大エントロピー測度が存在するという仮定の下で、$Ω_{rad}^{φ}$上の$N$-不変な保存測度はスケーリングを除いて一意である。
• 証明は、$N$-軌道に沿った時間平均観測値の等連続性に依存しており、これは$N$-球の境界測度が小さいことによって保証される。
• ジオデシックフローの混合性により、径方向集合のコンパクト部分集合上で時間平均がBowen-Margulis積分に一様収束することが示される。
• 横断的測度$ν_{T,t_k}$は弱収束し、Bowen-Margulis横断的測度に近づくため、任意の$N$-不変測度が$m_{BM}$に比例することが示される。
• 拡大する$N$-球上の平均における誤差項は、体積と境界測度の制御により部分列において消える。
• 結果はすべての次元$n \geq 2$で成り立ち、[Hoc10]を参照することで、任意の次元への一般化が達成されている。