[論文レビュー] A short proof of w_1^n(Hom(C_{2r+1}, K_{n+2}))=0 for all n and a graph colouring theorem by Babson and Kozlov

Carsten Schultz|ArXiv.org|Jul 17, 2005

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、BabsonとKozlovの予想を確認する、簡潔な位相的証明を提供する。${\mathbb{Z}}_2$-空間 $\operatorname{Hom}(C_{2r+1}, K_{n+2})$ における第1スタイフェル＝ブリタニの類の $n$ 乗が 0 であることを、等長写像とポincare双対性を用いて示す。著者は、すべての $n \geq 0$ に対して $w_1^n(\operatorname{Hom}(C_{2r+1}, K_{n+2})) = 0$ を示し、グラフ彩色定理の強い形を確立する。

ABSTRACT

We show that the n-th power of the first Stiefel-Whitney class of the Z_2-operation on the graph complex Hom(C_{2r+1},K_{n+2})$ is zero, confirming a conjecture by Babson and Kozlov. This proves the strong form of their graph colouring theorem, which they had only proven for odd n. Our proof is also considerably simpler than their proof of the weak form of the theorem, which is also known as the Lovász conjecture.

研究の動機と目的

• BabsonとKozlovの予想である、すべての $n \geq 0$ に対して $w_1^n(\operatorname{Hom}(C_{2r+1}, K_{n+2})) = 0$ を証明すること。
• 奇数 $n$ と偶数 $n$ の区別が不要な、すべての $n$ に対して有効な統一的で短い証明を提供すること。
• 特性類を用いて、Babson-Kozlovのグラフ彩色定理の強い形を確立すること。
• ${\mathbb{Z}}_2$-作用を介して、$w_1^n$ の消滅が、グラフの非$(n+2)$-彩色可能性を示すこと。

提案手法

• 等長写像 $f: \operatorname{Hom}(C_{2r+1}, K_{n+2}) \to X_{n,r} \setminus A_{n,r}$ を構成する。ここで $X_{n,r}$ は $r$ 個の $S^n$ の直積であり、自由な ${\mathbb{Z}}_2$-作用を持つ。
• $A_{n,r}$ を $X_{n,r}$ の ${\mathbb{Z}}_2$-不変部分空間として定義し、$f$ が $A_{n,r}$ を欠くことを示す。
• $\mathbb{Z}_2$ 上でのポincare双対性を用いて、商空間 $X_{n,r}/{\mathbb{Z}}_2$ と $(X_{n,r} \setminus A_{n,r})/{\mathbb{Z}}_2$ のコホモロジーを分析する。
• $c_i \in H_{(2r-1)n}(X_{n,r}; \mathbb{Z}_2)$ を球面の基本類の積として定義し、$c_i + c_{i+1} \in \operatorname{im} l_*$ を示す。
• $Y \to Y/{\mathbb{Z}}_2$ の商写像が偶数次数を持つことから、$\pi_*(c_r) = 0$ を証明する。
• 双対性と $\bar{p}_0^*(\omega)$ のポincare双対の消滅により、$w_1^n(X_{n,r} \setminus A_{n,r}) = 0$ を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BabsonとKozlovの予想である、すべての $n \geq 0$ に対して $w_1^n(\operatorname{Hom}(C_{2r+1}, K_{n+2})) = 0$ が成り立つか、特に偶数 $n$ に対しても成り立つか？
• RQ2 特性類を用いて、コホモロジー計算を避け、Babson-Kozlovのグラフ彩色定理の強い形を証明できるか？
• RQ3 すべての $n$ に対して一様に働く、$w_1^n$ の消滅を示す統一的で位相的な証明は存在するか？
• RQ4 $\operatorname{Hom}(C_{2r+1}, K_{n+2})$ の等長位相的性質が、特定の不変部分空間 $A_{n,r}$ を持つ球面の直積への写像によって捉えられるか？

主な発見

• すべての $r \geq 1$ および $n \geq 0$ に対して、第1スタイフェル＝ブリタニ類の $n$ 乗が消える：$w_1^n(\operatorname{Hom}(C_{2r+1}, K_{n+2})) = 0$ であり、Babson-Kozlovの予想が確認された。
• 以前の研究で用いられた複雑なコホモロジー計算を回避し、弱い形の証明よりも著しく単純な議論を提供する。
• 自由な ${\mathbb{Z}}_2$-作用を持つ $r$ 個の $n$-球面の直積への等長写像を用い、特定の ${\mathbb{Z}}_2$-不変部分空間 $A_{n,r}$ を欠くことで、消滅を確立する。
• $\mathbb{Z}_2$ 上でのポincare双対性を用いて、関連するコホモロジー類のポincare双対が境界写像の像に属することを示し、それがクラスとして 0 であることを示す。
• 鍵となるステップは、商写像 $Y \to Y/{\mathbb{Z}}_2$ が偶数次数を持つことから、ホモロジーにおける $\pi_*(c_r) = 0$ を示すことである。
• この結果により、強いグラフ彩色定理が得られる：$w_1^n(\operatorname{Hom}(C_{2r+1}, G)) \neq 0$ ならば、$G$ は $(n+2)$-彩色可能でない。