[論文レビュー] A short proof on the rate of convergence of the empirical measure for the Wasserstein distance

Vincent Divol|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、真の測度が有界密度を持つとき、d次元の平坦トーラス上での経験測度と真の測度の間の期待 Wasserstein 距離が $ n^{-1/d} $ のレートで収束することを簡潔に証明する。このアプローチは、Wasserstein 距離と負の Sobolev 級数の間の関係に着目し、フーリエ解析とカーネルスムージングを組み合わせることで、次元 2 において対数要因を除いて最小最大下界に一致するきわめて鋭い収束レートを確立する。

ABSTRACT

We provide a short proof that the Wasserstein distance between the empirical measure of a n-sample and the estimated measure is of order n^-(1/d), if the measure has a lower and upper bounded density on the d-dimensional flat torus.

研究の動機と目的

• 有界密度の仮定の下で、経験測度が真の測度に Wasserstein 距離で収束するレートを、きわめて鋭く短く証明すること。
• 凸領域ではなく、d次元の平坦トーラスに領域を制限することで境界効果を回避すること。
• フーリエ解析と最適輸送の道具を用いて、$ n^{-1/d} $ レートが最小最大下界に一致すること（次元 2 では対数要因を除いて）を示すこと。
• 最適輸送理論における重要な不等式を介して Wasserstein 距離と負の Sobolev 級数を結びつけることで、既存の手法を統一・簡略化すること。

提案手法

• Wasserstein 距離と密度差の負の Sobolev 級数の間の関係を示す不等式 $ W_p(\mu, \nu) \leq p f_{\min}^{1/p - 1} \|f - g\|_{\dot{H}_p^{-1}} $ の使用。
• 滑らかなカーネル $ K_h $ を用いた畳み込みにより経験測度を正則化するカーネルスムージングの適用、$ \mu_{n,h} $ はカーネル $ K_h $ を用いた畳み込みによる滑らか化された経験測度を表す。
• カーネル畳み込みによる質量輸送のコストを用いて、$ \mu_n $ と $ \mu_{n,h} $ 間の Wasserstein 距離を $ C_0 h $ で抑え込む。
• フーリエ乗算子を用いて負の Sobolev 級数を表現し、特に $ |\xi| \geq 1 $ のとき $ a(\xi) = 1/|\xi| $ を満たす演算子 $ \mathcal{A} $ を定義する。
• Mikhlin 乗算子定理を用いて、$ \mathcal{A}(f_{n,h} - f_h) $ の $ L_p $-ノルムを制御し、関連する作用素の有界性を保証する。
• Rosenthal の不等式を用いて、独立同分布の中心化された確率関数 $ \mathcal{A}(f_{n,h} - f_h) $ の和の $ L_p $-ノルムを制御し、誤差をバイアス項とフラクチュエーション項に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界密度の仮定の下で、経験測度が真の測度に Wasserstein 距離で収束する最適なレートは何か？
• RQ2 フーリエ解析と負の Sobolev 級数を用いて、$ n^{-1/d} $ の収束レートを簡潔に証明できるか？
• RQ3 収束レートは次元 $ d $ にどのように依存するか、特に低次元（$ d=1,2 $）においては？
• RQ4 平坦トーラス上での有界密度を持つ測度のクラスにおいて、$ n^{-1/d} $ レートは最小最大最適か？

主な発見

• $ d \geq 3 $ の場合、経験測度 $ \mu_n $ と真の測度 $ \mu $ 間の期待 $ W_p $-距離は $ C n^{-1/d} $ で抑えられ、定数を除いて最小最大レートに一致する。
• 次元 $ d = 2 $ の場合、レートは $ (\log n)^{1/2} n^{-1/2} $ であり、対数要因を除いて最小最大レートに一致する。
• 次元 $ d = 1 $ の場合、レートは $ n^{-1/2} $ であり、既知の最小最大最適レートと整合的である。
• 証明により、$ d \geq 3 $ では $ n^{-1/d} $ レートが鋭いことが示され、次元 2 では対数要因を除いて最適であることが確認される。
• この手法は二分木分割を避けるのではなく、負の Sobolev 級数を介したフーリエ解析的アプローチを用いることで、解析を簡素化する。
• 同じ枠組みを用いることで、$ s $-ホルダー滑らかさを持つ密度に対して、収束レートが $ n^{-(s+1)/(2s + d)} $ に改善され、既知の最小最大結果と一致することが示せる。