[論文レビュー] A Short Survey of Topological Data Analysis in Time Series and Systems Analysis

Shafie Gholizadeh, Wlodek Zadrozny|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 40被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、時間系列およびシステム解析におけるトポロジカル・データ解析（TDA）の応用、特に持続的ホモロジーの応用を調査し、金融市場の崩壊などの臨界的転換の早期予兆信号を検出する有効性を示している。金融時間系列のスライディング・ウィンドウから導出された相関ネットワークのトポロジカル特徴を分析することで、崩壊の前触れとして、持続的ランゲージのノルムの上昇トレンドが明らかになり、最大8か月も前から検出可能であることが示された。

ABSTRACT

Topological Data Analysis (TDA) is the collection of mathematical tools that capture the structure of shapes in data. Despite computational topology and computational geometry, the utilization of TDA in time series and signal processing is relatively new. In some recent contributions, TDA has been utilized as an alternative to the conventional signal processing methods. Specifically, TDA is been considered to deal with noisy signals and time series. In these applications, TDA is used to find the shapes in data as the main properties, while the other properties are assumed much less informative. In this paper, we will review recent developments and contributions where topological data analysis especially persistent homology has been applied to time series analysis, dynamical systems and signal processing. We will cover problem statements such as stability determination, risk analysis, systems behaviour, and predicting critical transitions in financial markets.

研究の動機と目的

• 時間系列およびシステム解析におけるトポロジカル・データ解析（TDA）の最近の応用をレビューすること。特に、持続的ホモロジーに焦点を当てる。
• 従来の手法が失敗する可能性があるノイズが多い、または高次元の時間系列データにおける構造的特徴をTDAがどのように捉えているかを検討すること。
• 金融市場および力学的システムにおける臨界的転換を検出するためのトポロジカル不変量の利用を調査すること。
• 不安定化の兆候を特定する際の、持続的図やランゲージといったトポロジカル特徴の強靭性を強調すること。
• システムおよび金融計量経済学分野における従来の信号処理や機械学習の代替手段としてTDAの可能性を位置づけること。

提案手法

• 遅延埋め込みまたはスライディング・ウィンドウ内の相関に基づくグラフを用いて、時間系列データから単体的複体を構築する。
• さまざまなスケールでトポロジカル不変量（バーコード、持続的図、ランゲージ）を計算するために、持続的ホモロジーを適用する。
• 時間系列における連続する相関グラフ間のトポロジカル変化を測定するために、ジャカード係数を用いる。
• 持続的ランゲージのL^pノルムを計算し、時間経過に伴うトポロジカルな複雑さを定量化する。
• トポロジカル不変量の時間系列を分析し、臨界的転換の前触れとなる上昇トレンドを検出する。
• チェーン複体と境界準同型写像を用いて、ホモロジー群やオイラー特性を計算し、トポロジカル記述子とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル・データ解析は、時間系列データを用いて金融市場の崩壊の早期予兆信号を検出できるか？
• RQ2 持続的図やランゲージといったトポロジカル不変量は、金融相関ネットワークの構造的変化をどのように反映するか？
• RQ3 ノイズの多いシステムにおいて、従来の信号処理よりも持続的ホモロジーが臨界的転換を同定する際にどれほど強靭性を示すか？
• RQ4 力学的システムおよび金融時間系列において、どのトポロジカル特徴がシステムの不安定化と相関しているか？
• RQ5 スライディング・ウィンドウに基づく相関グラフから導出されたトポロジカル特徴は、市場崩壊の前触れとしてシステミック・リスクを予測できるか？

主な発見

• 持続的ランゲージのL^1およびL^2ノルムは、2000年のドットコムバブル崩壊および2008年の金融危機の数か月前から顕著な上昇トレンドを示した。
• トポロジカル特徴は、ダウ・ジョーンズ工業平均の2008年金融危機のピークの8か月も前から市場の不安定化の兆候を検出できた。
• 持続的ホモロジーは、主要な市場崩壊の前に対し、トポロジカルな複雑性とネットワーク密度の上昇を明らかにした。
• この手法は、ノイズの多い条件下でも相関ネットワークの構造的変化を捉える強靭性を示した。
• 持続的図やランゲージといったトポロジカル不変量は、力学的システムにおける臨界的転換の検出において、従来の手法を上回った。
• このアプローチは、遅延埋め込みの持続的ホモロジーを用いて、遺伝子発現データおよびモーショングラフィックデータの周期的挙動と構造的シフトを効果的に同定できた。