[論文レビュー] A (short) survey on Dominated Splitting

Martı́n Sambarino|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 54被引用数 20

ひとこと要約

本調査は、滑らかな力学系における支配的分解の包括的概要を提供し、そのロバストな力学的挙動および構造的安定性における役割に注目している。支配的分解が小さなC¹摂動のもとで保存されることを確立し、再帰的C¹摂動構成を用いて非双曲的系に支配的分解が存在することを示しており、2次元トーラス上にC¹ロバストな非アノソフ微分同相写像が存在し、その周期点の安定ライアプノフ指数が0に近づくことを得ている。

ABSTRACT

We present here the concept of Dominated Splitting and give an account of some important results on its dynamics.

研究の動機と目的

• 支配的分解を滑らかな力学系の基礎的概念として体系化すること。
• 支配的分解がC¹摂動のもとでロバストな力学的現象を保証する役割を明確にすること。
• 支配的分解が双曲性や構造的安定性を示す限界を調査すること。
• 反復的摂動を用いて、非アノソフであるが支配的分解を有するC¹微分同相写像の明示的例を構成すること。
• 支配的分解が一般のC¹力学系およびホモクラインクラスに与える影響を探索すること。

提案手法

• 2次元トーラス上のアノソフ微分同相写像を変更する再帰的C¹摂動技術を用い、支配的分解を保存する。
• 局所座標変換とコーン場の議論を適用して、不変部分束上の微分のノルムを制御する。
• ライアプノフ指数の推定とコーン条件を用い、支配性を保証する：‖Df|E‖ < e^γ および ‖Df|F‖ < e^γ で γ < 0。
• 微分同相写像の列 {f_n} を構成し、C¹位相で極限gに収束させる。
• 摂動の支持外にある周期点は、以前のf_nから双曲性を引き継ぎ、gが拡張的であることを保証する。
• 拡張的ホメオモルフィズムの理論を適用し、gがアノソフでないにもかかわらず、アノソフ微分同相写像に同相であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配的分解は小さなC¹摂動のもとで保存可能か？ また、どのような力学的結果をもたらすか？
• RQ2 支配的分解は、力学系においてどの程度構造的安定性や双曲性を示すか？
• RQ3 C¹微分同相写像で支配的分解を有するがアノソフでないものを作成可能か？ もしそうなら、その力学的性質は何か？
• RQ4 ホモクラインクラスにおける周期点の存在とインデックスに、支配的分解の存在がどのように影響するか？
• RQ5 滑らかさの程度が、支配的分解が双曲性やロバストな力学的挙動をもたらすかどうかを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• C¹ロバストな非アノソフ微分同相写像gが2次元トーラス上に存在し、アノソフ微分同相写像のC¹極限として構成されている。
• 極限微分同相写像gは、安定ライアプノフ指数 L^s(p_n, g) = -λ_n → 0 (n → ∞) を満たす周期点p_nの列を有する。
• アノソフでないにもかかわらず、gは拡張的であり、したがってアノソフ微分同相写像に同相である。これは、支配的分解が双曲性を示さないことを示している。
• E^sに接する安定葉層は摂動プロセス全体を通して保存され、支配的分解の恒続性が保証される。
• この構成により、ホモクラインクラスに支配的分解 E^s ⊕ E^c ⊕ E^u が存在しても、周期点が dim E^s のインデックスを有しない場合があることが示された。
• この結果は、支配的分解が双曲性や周期的アトラクターの存在を保証するには不十分であり、C¹一般条件のもとでも同様であることを示している。