[論文レビュー] A simple alternative to the Crystal Ball function

S. Das|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2016

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、高エネルギー物理学における指数的尾部を示すピークをフィッティングするための、クリスタルボール関数のより単純な代替手法として、GaussExpおよびExpGaussExp関数を提案する。べき乗則的尾部を指数的尾部に置き換えることで、フィッティングの不安定性が軽減され、パラメータ数が減少し、特に大規模データセットや高い尾部パラメータを持つ場合に、シミュレート済みデータおよび実データにおいて優れた収束性と安定性を示す。

ABSTRACT

We present a simple alternative to the Crystal Ball function that has an exponential tail stitched to a Gaussian core. It has one parameter less than the Crystal Ball function and, where appropriate, offers more stable fits to peaks that continue into exponential tails. The function may also be extended with two exponential tails on each side of the Gaussian, and this has two parameters less than the corresponding double-shouldered Crystal Ball function. This function has been used to model background and signal processes in a recent Higgs pair production search and may be of versatile use in experimental physics and other fields.

研究の動機と目的

• クリスタルボール関数の不安定性と高いパラメータ感度、特に長大な指数的尾部を持つ分布のフィッティングにおいて顕著な問題を解決すること。
• ガウス核と指数的尾部の間で滑らかに接続される（C¹連続性を満たす）が、パラメータ数が少ない、より単純な関数を構築すること。
• クリスタルボール関数が、パワー則指数nの極端な値に起因して収束に失敗する高統計量データセットにおいて、収束性とパラメータの信頼性を向上させること。
• ヒッグスボソン探索などの実験的粒子物理学におけるインバリアント質量分布のモデリングのための頑健な代替手法を提供すること。
• GaussPair Production Searchにおける背景および信号モデリングへの応用を含め、実世界の応用における新関数の有効性を示すこと。

提案手法

• GaussExp関数は、ガウス核の片側に指数的尾部を備え、遷移点で関数値および一次微分が連続となるように制約を課す。
• 遷移点は1つの減衰定数kによって定義され、これによりクリスタルボール関数の2つのパラメータ（αおよびn）に置き換わり、パラメータ数が1つ削減される。
• 二重肩持つExpGaussExp関数は、ガウス核の両側に指数的尾部を備え、それぞれkLおよびkHを減衰定数として用い、二重肩持つクリスタルボール関数と比較してパラメータ数を2つ削減する。
• 関数は、遷移点において関数値および傾きが一致するように構築されており、C¹連続性を保証する。
• フィッティングは、ROOT/MINUITフレームワーク内での最尤法を用い、シミュレート済みおよび実データに対してクリスタルボール関数と比較して実施する。
• 指数的降下分布およびシミュレート済みH→γγピークを用いて検証を行い、イベント数の変動に伴う収束性およびパラメータ不確実性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C¹連続性を満たす指数的尾部を持つ関数が、パワー則的尾部を持つクリスタルボール関数に置き換え可能であり、フィッティングの不安定性が軽減されるか？
• RQ2 提案されたGaussExp関数は、パラメータ数が少なく、特に高統計量領域においてクリスタルボール関数よりも安定したフィッティングを達成できるか？
• RQ3 ExpGaussExp関数は、信号ピークの非対称的尾部を、二重肩持つクリスタルボール関数よりも信頼性高くモデル化できるか？
• RQ4 長大な指数的尾部を持つ大規模データセットをフィッティングする際、新しい関数の収束性およびパラメータ不確実性はどの程度か？
• RQ5 GaussExpおよびExpGaussExp関数は、ヒッグスボソン質量再構築などの実験的データに成功裏に適用可能か？

主な発見

• GaussExp関数は、1,000～1,000,000イベントの全テストケースで正常に収束したが、100,000および1,000,000イベントのデータセットでは、パワー則指数nの不安定性に起因してクリスタルボール関数は収束に失敗した。
• 100,000イベントの場合、クリスタルボール関数はn = 127 ± 40を返し、パラメータの制約が著しく弱い状態であったが、GaussExpは真値と整合的で小さな不確実性を示した。
• H→γγ信号ピークのフィッティングでは、クリスタルボール関数が収束に失敗し、nL = 100 ± 120およびnH = 63 ± 131を返し、極めて不安定で物理的に意味のない結果となった。
• ExpGaussExp関数は、χ²/ndfが1に近く、小さなパラメータ不確実性を報告したが、クリスタルボール関数はより悪いχ²/ndfを示し、収束に失敗した。
• GaussExpおよびExpGaussExp関数は、大規模なデータセットおよび高尾部パラメータ領域において、すべてのテストデータセットで優れた収束性と安定性を示した。
• 新関数は最近のCMSヒッグス対生成探索において、背景（GaussExp）および信号（ExpGaussExp）のインバリアント質量分布のモデリングに成功裏に適用された。