[論文レビュー] A simple and constructive proof to a generalization of L\"uroth's theorem

François Ollivier, Brahim Sadik|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2022

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、体 k 上の有理関数体 k(x₁,…,xₙ) 内で、k を含むトランセンドental度 1 の部分体 K に対して、一般化された L"uroth の定理の単純かつ構成的な証明を提示する。K は k(x) 内のある v ∈ k(x) に対して単純拡大 k(v) として表される。証明は、x において消える K[y] 内の素イデアル ∆(K) の構造に依拠し、それが主イデアルであることを示し、対称的生成子を用いて Gröbner 基底または特徴的集合の手法により v を明示的に構成する。

ABSTRACT

A generalization of L{\"u}roth's theorem expresses that every transcendence degree 1 subfield of the rational function field is a simple extension. In this note we show that a classical proof of this theorem also holds to prove this generalization.

研究の動機と目的

• 有理関数体のトランセンドental度 1 の部分体に対して、一般化された L"uroth の定理の構成的かつ初等的な証明を提供すること。
• 消えるイデアル ∆(K) の生成子と部分体 K の有理関数生成子 v の間の直接的な計算的関係を確立すること。
• このような生成子 v が、Gröbner 基底または特徴的集合を用いてアルゴリズム的に計算可能であることを示すこと。
• 有理関数体の古典的体論的結果とアルゴリズム的代数幾何学を統合すること。

提案手法

• K[y] 内の素イデアル ∆(K) を定義する。これは、k(x) 内で y = x において消える多項式 P ∈ K[y] であって、P(x) = 0 を満たすものである。
• K[y] が UFD であることと、∆(K) が高さ 1 の素イデアルであるという事実を用いて、∆(K) が主イデアルであることを証明する。
• ˆ∆(K) = k[x]∆(K) ∩ k[x,y] の対称的生成子 ˆG を構成する。ここで ˆG(y,x) = −ˆG(x,y) かつ deg_x ˆG = deg_y ˆG が成り立つことを示す。
• monic 生成子 G ∈ K[y] の係数を用いて、互いに素な多項式 f(x), g(x) を用いて v = f(x)/g(x) ∈ K を抽出する。
• v が多項式関係 D = f(y) − v g(y) ∈ ∆(K) を満たし、かつ D が G を割り切ることを示し、k(v) = K であることを示す。
• 文献 [3] に従い、K[y,u] 内のイデアル J = ⟨P_i(y)−f_i Q_i(y), u ∏ Q_i(y)−1⟩ を用いた消去法により ∆(K) を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理関数体 k(x₁,…,xₙ) のトランセンドental度 1 の部分体に対して、L"uroth の定理の一般化に対する構成的証明は可能か？
• RQ2 消えるイデアル ∆(K) の生成子と部分体 K の有理関数生成子 v の間には、直接的な代数的幾何的対応があるか？
• RQ3 有限個の有理関数の集合から生成される K の生成子 v を、アルゴリズム的に計算可能か？
• RQ4 ˆ∆(K) の生成子における対称性および反対称性が、v の構成に果たす役割は何か？
• RQ5 Gröbner 基底や特徴的集合といった標準的な代数的道具を用いて、v を明示的に計算する方法は何か？

主な発見

• 任意の k 上のトランセンドental度 1 の部分体 K ⊂ k(x) に対して、K[y] 内のイデアル ∆(K) は主イデアルである。
• ∆(K) の生成子 G は、その係数に非定数の有理関数 v = f(x)/g(x) ∈ K を含むように正規化可能である。
• 有理関数 v は対称的多項式関係 f(y) − v g(y) ∈ ∆(K) を満たし、この多項式は生成子 G を割り切る。
• この構成により k(v) = K が保証され、K が k の単純拡大であることが証明される。
• 生成子 v は、消去イデアル J ∩ K[y] を用いて、Gröbner 基底または特徴的集合の手法によりアルゴリズム的に計算可能である。
• イデアル ˆ∆(K) は根のイデアルであり、K に属するすべての p/q に対して q(x)p(y) − p(x)q(y) の形の式の生成するイデアルと等しい。