[論文レビュー] A simple and efficient BEM implementation of quasistatic linear visco-elasticity

Christos G. Panagiotopoulos, V. Mantič+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Elasticity and Material Modeling参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、implicit時間離散化（Rothe法）と代数的変数変換を用いて、準静的線形粘弾性に対する単純で安定的かつ効率的な境界要素法（BEM）定式化を提示する。この手法により、Kelvin弾性静力学的基本解のみを用いて解を求めることが可能となり、逆ラプラス変換を回避し、Kelvin-Voigt、Maxwell、Boltzmann、Jeffreys、Burgersモデルを含む複数の rheology に対応可能であり、コード修正を最小限に抑えることができる。

ABSTRACT

A simple, yet efficient procedure to solve quasistatic problems of special linear visco-elastic solids at small strains with equal rheological response in all tensorial components, utilizing boundary element method (BEM), is introduced. This procedure is based on the implicit discretisation in time (the so-called Rothe method) combined with a simple "algebraic" transformation of variables, leading to a numerically stable procedure (proved explicitly by discrete energy estimates), which can be easily implemented in a BEM code to solve initial-boundary value visco-elastic problems by using the Kelvin elastostatic fundamental solution only. It is worth mentioning that no inverse Laplace transform is required here. The formulation is straightforward for both 2D and 3D problems involving unilateral frictionless contact. Although the focus is to the simplest Kelvin-Voigt rheology, a generalization to Maxwell, Boltzmann, Jeffreys, and Burgers rheologies is proposed, discussed, and implemented in the BEM code too. A few 2D and 3D initial-boundary value problems, one of them with unilateral frictionless contact, are solved numerically.

研究の動機と目的

• 準静的線形粘弾性問題に対する計算効率的で数値的に安定なBEM定式化を開発すること。
• BEMを用いた粘弾性解析において、時間依存基本解や逆ラプラス変換を必要としないようにすること。
• 単純な代数的変数変換により、既存の弾性静力学的BEMコードへの容易な実装を可能とすること。
• 粘弾性体を含む単一接触（unilateral frictionless contact）問題への定式化の拡張。
• Maxwell、Jeffreys、Burgersモデルを含む複数の標準的粘弾性 rheology への一般化。

提案手法

• 支配方程式である粘弾性PDEにRothe法（implicit Euler時間離散化）を適用し、時間依存問題を連続する準静的問題に変換する。
• 各時間ステップで代数的変数変換を導入し、粘弾性問題を線形弾性静力学的境界値問題に変換する。
• 得られた弾性静力学的問題を、領域積分を回避し、複雑な時間依存カーネルを避けるために、標準的なKelvin基本解を用いて解く。
• 各時間ステップで補助場の解から明示的な代数的回復により、実際の変位、応力、ひずみを再構成する。
• コロケーションBEMを用いて境界離散化を行い、領域変数を必要とせず、計算効率を高める。
• エネルギー的制約と接触条件を境界積分表現に組み込むことで、単一接触問題への拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間依存基本解や逆ラプラス変換を必要とせず、数値的に安定かつ効率的なBEM定式化を、準静的線形粘弾性問題に適用可能か？
• RQ2 時間離散化と変数変換を用いて、Kelvin-Voigt粘弾性モデルを、弾性静力学的基本解のみを用いて効率的に解く方法は？
• RQ3 提案手法がMaxwell、Boltzmann、Jeffreys、Burgersなどの標準的粘弾性モデルへどの程度一般化可能か？
• RQ4 単一接触（frictionless）を含めた場合、BEM定式化の数値的挙動と安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 既存の弾性静力学的BEMコードに最小限の修正で実装可能であり、精度と安定性を維持できるか？

主な発見

• 離散的エネルギー推定を用いることで、長時間シミュレーションにおいても数値的安定性を達成し、ロバスト性を確保する。
• Kelvin-Voigt、Maxwell、Boltzmann、Jeffreys、Burgersの各rheologyを含む2次元および3次元初期境界値問題を、Kelvin弾性静力学的基本解のみを用いて正しく解くことに成功した。
• implicit Euler時間離散化と変数変換により、領域積分や複雑な変換を必要とせず、再帰的かつ効率的な解法プロセスが実現された。
• 粘弾性接触問題の数値結果から、粘性度が高くなると接触領域長が短縮され、最大法線応力も減少することが示された。また、荷重解放時に粘性力が有限のピークを示した。
• 粘性度が高くなると、弾性的反力が減少し、粘性力成分は荷重解放直後にジャンプとピークを示した。これはエネルギー散逸と遅延回復を示している。
• 補助場の変換を導入するだけで、既存のBEMコードに容易に統合可能であり、粘弾性解析に必要なコード変更を最小限に抑えることができる。