[論文レビュー] A Simple Approach to Functional Inequalities for Non-local Dirichlet Forms

Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2013

Analytic and geometric function theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の跳躍核を有する非局所的ディリクレ形式に対して、ポincare型不等式、エントロピー不等式、ベクナー型不等式を直接かつ一般的に導出する手法を提示する。ポテンシャル関数 $V$ および跳躍密度 $ ho$ に対して十分な条件を確立することで、$L^p$ 様式における関数不等式を証明し、分数階ポincare不等式の新しい基準を導き、レビー測度を超える範囲への拡張を実現する。

ABSTRACT

With direct and simple proofs, we establish Poincaré type inequalities (including Poincaré inequalities, weak Poincaré inequalities and super Poincaré inequalities), entropy inequalities and Beckner-type inequalities for non-local Dirichlet forms. The proofs are efficient for non-local Dirichlet forms with general jump kernel, and also work for $L^p (p>1)$ settings. Our results yield a new sufficient condition for fractional Poincaré inequalities, which were recently studied in \cite{MRS,Gre}. To our knowledge this is the first result providing entropy inequalities and Beckner-type inequalities for measures more general than Lévy measures.

研究の動機と目的

• 非局所的ディリクレ形式に対して、ポincare、弱ポincare、スーパー・ポincare、エントロピー、ベクナー型不等式を導出する簡単で直接的な手法を確立すること。
• これらの不等式が成り立つための十分条件を、$V$ および跳躍核 $\rho$ に対して提示し、$p>1$ の $L^p$ 様式でも成立することを保証すること。
• 関数不等式の適用範囲をレビー測度を超えて拡張し、分数階ポincare不等式のための新しい基準を提示すること。
• 結果を多孔質媒体方程式に応用し、$L^p$ 関数不等式を用いて解の収束速度を導出すること。

提案手法

• 凸関数 $\Phi$ に関連するベルグマン距離 $D_\Phi(a,b) = \Phi(a) - \Phi(b) - \Phi'(b)(a-b)$ の直接的評価に依拠し、さまざまな関数不等式を統一的に取り扱えるようにする。
• 一般の非局所的ディリクレ形式 $D_{\rho,V}(f,f) = \iint_{x\neq y} (f(x)-f(y))^2 \rho(|x-y|) \, dy \, \mu_V(dx)$ を導入する。ここで $\mu_V(dx) = e^{-V(x)}dx$ である。
• 点ごとの下界 $ (e^{V(x)} + e^{V(y)}) \rho(|x-y|) $ に対する評価により、ポincare型不等式が成り立つための十分条件を導出する。
• ホルダーの不等式および積分推定を用いて、$\mu_V(f^p) - \mu_V(f)^p$ を $D_{\rho,V}(f,f^{p-1})$ の形で評価し、ベクナー型不等式を導出する。
• 先行研究で用いられる調和解析的手法を避けることで、よりアクセスしやすく一般性の高い枠組みを提供する。
• 多孔質媒体方程式への応用は、不等式 $\mu_V(f^{m+1}) \leq c^{-1} D_{\rho,V}(f,f^m)$ と解の減衰速度との関係を結びつけることで得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的ディリクレ形式 $D_{\rho,V}$ が明示的な定数を伴ってポincare不等式を満たすための $V$ および $\rho$ に関する条件は何か？
• RQ2 一般の跳躍核および $p>1$ の $L^p$ 空間において、非局所的ディリクレ形式に対してベクナー型不等式を確立できるか？
• RQ3 非局所的設定におけるスーパー・ポincare不等式が成り立つための十分条件は何か？また、それらはポテンシャル $V$ および跳躍密度 $\rho$ とどのように関係するか？
• RQ4 非局所的ディリクレ形式のための関数不等式は、多孔質媒体方程式における収束速度の解析にどのように応用できるか？
• RQ5 これらの結果は、レビー測度を越えてより一般の測度に拡張可能か？特に分数階ポincare不等式の文脈において。

主な発見

• すべての $x \neq y$ に対して $ (e^{V(x)} + e^{V(y)}) \rho(|x-y|) \geq c > 0 $ が成り立つならば、最適定数 $c^{-1}$ を伴うポincare不等式が成立する。
• 弱ポincare不等式は、$\mu_V$ の尾の挙動および $ (e^{V(x)} + e^{V(y)}) \rho(|x-y|) $ の小距離における下界に依存するレート関数 $\alpha(r)$ を伴って成立する。
• ある関数 $w$ に対して $\lim_{|x|\to\infty} w(x) = \infty$ が成り立ち、$ e^{V(x)} + e^{V(y)} \geq \frac{w(x) + w(y)}{\rho(|x-y|)} $ が成り立つならば、スーパー・ポincare不等式が成立し、定数 $\beta(r)$ に対して明示的な評価が得られる。
• ホルダーの不等式およびポincare条件を用いることで、$p \in (1,2]$ に対してベクナー型不等式が確立され、$ \mu_V(f^p) - \mu_V(f)^p \leq c^{-1} D_{\rho,V}(f, f^{p-1}) $ が得られる。
• 例として $ e^{-V(x)} = C_{d,\varepsilon}(1+|x|)^{-(d+\varepsilon)} $ および $ \rho(r) = r^{-d-\alpha} $ を考えるとき、以下のことが示されている：(i) $ \varepsilon \geq \alpha $ ならば分数階ポincare不等式が成立し、(ii) $ \varepsilon < \alpha $ ならばレート $ r^{-\varepsilon/\alpha} $ を伴う弱ポincare不等式が成立し、(iii) $ \varepsilon > \alpha $ ならばレート $ r^{-1/\varepsilon} $ を伴うスーパー・ポincare不等式が成立する。
• 多孔質媒体方程式 $ \partial_t u = L_{\rho,V}(u^m) $ に対して、ポincare条件のもとで解は $ \mu_V((T_t f)^2) \leq \left[ \mu_V(f^2)^{-(m-1)/2} + c^{-1}(m-1)t \right]^{-2/(m-1)} $ を満たし、代数的減衰を示す。