[論文レビュー] A simple approach to geometric realization of simplicial and cyclic sets

Amnon Besser|ArXiv.org|May 18, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単体的および循環的集合の幾何的実現を、単位区間から有限部分順序集合（poset）への順序を保つ写像を用いて提示する。これは、標準単体の自然な位相的解釈を提供する。主な貢献は、周期的posetを用いて自然に拡張可能な関手的で積を保存する幾何的実現であり、[[n]]の循環的実現が|\Delta_n| \times S^1に位相的に同相であることが示され、順序論的基盤に基づいて単体的および循環的理論を統一する。

ABSTRACT

This is the same version that was previously only on my home page. We give a description of geometric realization which makes it evident that it commutes with products. A similar approach is used to treat cyclic sets. Our approach is similar to those of Drinfeld and Grayson.

研究の動機と目的

• ホモトピー理論において従来の説明が欠落している標準単体の幾何的実現に、自然で組合せ論的根拠を持つ解釈を提供すること。
• 単位区間から有限posetへの順序を保つ写像の空間を用いて、積と可換な単体的集合の幾何的実現関手を確立すること。
• 循環的集合へと枠組みを拡張するため、周期的poset（ppset）を、循環的設定におけるposetの類似物として導入すること。
• コンヌの循環的圏が、次数1の周期的posetの部分圏と同型であることを示し、循環的および単体的理論を統一すること。
• 円作用とppset写像上の位相的構造を用いて、循環的集合の幾何的実現が積を保存することを証明すること。

提案手法

• 有限poset $P$ の幾何的実現を、単位区間 $I = [0,1]$ から $P$ への上半連続かつ順序を保つ写像の空間として定義し、距離位相を備える。
• このposet上の実現関手が、標準的な単体的集合 $\mathcal{S}(P)$ と自然に同型であり、$\mathcal{S}([n]) = \Delta_n$ であることを示す。
• 循環的集合をモデル化するため、$\mathbb{Z}^k$-作用が自由であるposet（$k$ は次数）として周期的poset（ppset）を導入する。
• ppset $P$ の循環的実現を、$\mathbb{R}$ から $P$ への$\mathbb{Z}$-同変かつ順序を保つ写像（周期性を満たすもの）の空間として定義し、作用による商をとる。
• 実数関数の整数部と小数部を用いて、標準循環 $n$-単体 $[[n]]$ の実現と $|\Delta_n| \times S^1$ の間に位相同型を構成する。
• 対角円作用を用いて、$||\mathcal{C}(P) \times \mathcal{C}(Q)|| \cong ||\mathcal{C}(P)|| \times ||\mathcal{C}(Q)||$ を示すことにより、循環的実現関手が積と可換であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の仮定を追加せずに、標準単体の幾何的実現を順序論的解釈で自然に与える方法は何か？
• RQ2 順序を保つ写像と位相のみを用いて、単体的集合の幾何的実現が積と可換であることを示せるか？
• RQ3 循環的集合に対して適切なposetのカテゴリカル一般化は何か？ そして、それが幾何的実現理論を支えるにはどう寄与するか？
• RQ4 コンヌの循環的圏は、次数1の周期的posetの部分圏と同型か？
• RQ5 循環的集合の幾何的実現は積を保存するか？ もしそうなら、その構造はどのように符号化されているか？

主な発見

• 有限poset $P$ の幾何的実現は、自然に、単位区間 $I = [0,1]$ から $P$ への順序を保つ上半連続写像の空間（コンパクト開位相を備える）として特定される。
• poset $P$ に付随する単体的集合 $\mathcal{S}(P)$ の幾何的実現は、$P$ 自身の実現と同型であり、自然な対応が確立される。
• 標準循環 $n$-単体 $\tilde{\Delta}_n$ は、$|\Delta_n| \times S^1$ として幾何的実現され、円作用は $|\Delta_n|$ 上で自明に作用する。
• コンヌの循環的圏は、正のアーベド・構造を持つ次数1の周期的posetのフル部分圏と同型である。
• 任意の正のアーベド・コンパクトなppset $P$ は、$n+1 = |\mathbb{Z} \backslash P|$ である $[[n]]$ と同型であり、このような対象の分類が得られる。
• 循環的集合の幾何的実現は積と可換である：$||\mathcal{C}(P) \times \mathcal{C}(Q)|| \cong ||\mathcal{C}(P)|| \times ||\mathcal{C}(Q)||$ が対角円作用を介して成立する。