[論文レビュー] A simple C*-algebra with finite nuclear dimension which is not Z-stable

Ilijas Farah, Dan Hathaway+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、連続体仮説（CH）またはより弱い条件 b = c の下で、超限再帰的構成を用いて、Z-安定でないが核次元が0である単純な C*-代数を構成する。主な洞察は、中心的逐次代数がアーベル的ではあるが非自明であることであり、これは有限核次元であるにもかかわらず Z-安定性を妨げる。これにより、分離性がなければ Toms–Winter 予想が成り立たないことが示される。同様の手法により、R とそのテンソル積に同型でないヒルベルト空間上の超有限 II₁ 因子が構成され、CH の下で非分離的状況下でも R-安定性が失敗することを示す。構成は中心的逐次代数の非自明性を保証するため、集合論的仮定を用いて中心的逐次代数を制御し、自己同型を用いて超中心性を避ける。

ABSTRACT

We construct a simple C*-algebra with nuclear dimension zero that is not isomorphic to its tensor product with the Jiang-Su algebra Z, and a hyperfinite II_1 factor not isomorphic to its tensor product with the separable hyperfinite II_1 factor R. The proofs use a weakening of the Continuum Hypothesis.

研究の動機と目的

• 非分離 C*-代数において有限核次元が Z-安定性を意味しないことを示し、分離性を除いた Toms–Winter 予想の妥当性を問い直す。
• 非分離的状況下で R-安定性が失敗する超有限 II₁ 因子を構成し、von Neumann 代数における正則性の性質の失敗を拡張する。
• 弱い集合論的仮定の下で、単純な C*-代数および超有限 II₁ 因子において、中心的逐次代数がアーベル的だが非自明であることが可能であることを示す。
• 超限再帰と自己同型の制御を用いて、分離性が欠如する状況下で「有限核次元 ⇒ Z-安定性」の含意が成り立たない反例を提供する。

提案手法

• c までの順序数でインデックスが付いた、局所的行列代数（LM）代数の直和極限としての C*-代数の超限再帰的構成。
• 各段階 ξ において、以前の段階からの中心的逐次代数が超中心的でないかをチェックし、もしそうでなければ、中心性を破るために *-準同型を用いてより大きな代数へ埋め込む。
• すべての潜在的な中心的逐次代数が最終的に検討され、超中心的でなければ破壊されるように、c から c² への全射 χ を用いる。
• 鍵となる技術的道具は、自己同型 α を用いて ∥x_j − α(x_j)∥ > ε を無限に多くの j に対して満たす Lemma 3.2 であり、これにより超中心性が防がれる。
• C*-代数の構成を von Neumann 代数に適応する際には、ノルム位相の代わりに強作用素位相を用い、安定な LM C*-部分代数を用いる。
• 証明は、有界数 b と仮定 b = c を用いて、列の共終性と制御を保証し、CH の必要性を弱める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分離 C*-代数において、有限核次元は Z-安定性を意味するか？
• RQ2 超有限 II₁ 因子が R-安定でないことはあり得るか？
• RQ3 中心的逐次代数がアーベル的で非自明であり、Z-安定でない C*-代数は存在するか？
• RQ4 Z-安定性の失敗が ZFC で証明可能か、それとも集合論的仮定が必要か？

主な発見

• 連続体仮説の下で、核次元が0の単純な核的 C*-代数が存在し、それは Z-安定でない。
• この C*-代数の中心的逐次代数はアーベル的だが非自明であり、これは Lemma 1.1 により Z-非安定性を示唆する。
• より弱い仮定 b = c の下で、中心的逐次代数がアーベル的である局所的行列代数 C*-代数が存在し、これにより Z-非安定性が示される。
• CH の下で、R とそのテンソル積に同型でない超有限 II₁ 因子が存在し、非分離的状況下での R-安定性の失敗を示す。
• 構成された C*-代数の中心的逐次代数はアーベル的で非自明であり、これは Toms–Winter 予想が分離性がなければ成り立たないことを示す。
• この構成により、非分離 C*-代数において局所的 Z-安定性（定理 4.1 の条件 3）が全般的な Z-安定性を意味しないことが示される。