[論文レビュー] A simple construction of Grassmannian polylogarithms

A. B. Goncharov|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、Tateの反復積分を用いて、複素射影空間 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$ 内の一般な $2n$ 個の点の配置のモジュライ空間上での多価正則関数としてのGrassmannian $n$-対数関数の単純で明示的な構成を提示する。主な貢献は、Grassmannian $n$-対数関数を実現するTateの反復積分の閉じた公式であり、その記号は交互和としての統合サイクルの和で明示的に計算され、Grassmannian幾何学とLie余代数コホモロジーを用いたbi-Grassmannian $n$-対数関数コサイクルの記号に関する予想が提示される。

ABSTRACT

We give a simple explicit construction of the Grassmannian n-logarithm, which is a multivalued analytic function on the quotient of the Grassmannian of generic n-dimensional subspaces in 2n-dimensional coordinate complex vector space by the action of the 2n-dimensional coordinate torus. We study Tate iterated integrals, which are homotopy invariant integrals of 1-forms dlog(rational functions). We introduce the Hopf algebra of integrable symbols related to an algebraic variety, which controls the Tate iterated integrals We give a simple explicit formula for the Tate iterated integrals related to the Grassmannian polylogarithms.

研究の動機と目的

• Grassmannian $G_n^n(\mathbb{C})$ のトーラス作用による商上での多価正則関数としてのGrassmannian $n$-対数関数の単純で明示的な構成を提供すること。
• Aomotoの $n$-対数関数を構成要素として用い、閉 $1$-形式 $d\log f_i$ のTate反復積分によってGrassmannian $n$-対数関数を定義すること。
• 単体上の統合サイクルの交互和として、Grassmannian $n$-対数関数の記号を明示的に計算すること。
• Grassmannian写像 $A_i$ と $B_j$ を用いた、bi-Grassmannian $n$-対数関数コサイクルの記号に関する普遍的公式の予想を提示すること。ただし、コサイクル条件を満たすものとする。
• 反復積分を混合Tateモチーフの変動と関連づけ、Hopf代数 $\mathcal{H}_\bullet(X)$ の元にアップグレードし、定数変動のモジュロで簡略化されたコプロダクトを得ること。

提案手法

• Aomotoの $(n-1)$-対数関数を用いて構成される、$PG_n(\mathbb{C})$ 上の閉 $1$-形式 $\Omega$ の積分としてGrassmannian $n$-対数関数を定義する。
• 比較定理を用いて、Tate反復積分を $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$ 内の単体上の統合サイクル $\Delta$ の積の和として表現する。
• 単体上のサイクルのテンソル積 $\Delta(l_1,\dots,l_n) \otimes \cdots \otimes \Delta(l_n,\dots,l_{2n-1})$ に交互和 $\mathrm{Alt}_{2n}$ を適用し、Grassmannian $n$-対数関数の記号を定義する。
• Grassmannian写像の引き戻し $A_i^*$ と $B_j^*$ を含む予想的な公式を用いて、bi-Grassmannian $n$-対数関数コサイクルの記号を導出する。
• Lie余代数 $\mathbf{L}_\bullet(X)$ 及びそのコチェーン複体を用いて、可積分な記号とそのコプロダクトを記述する。
• 統合サイクルの構造を用いて、定数変動のイデアルモジュロでTate反復積分のコプロダクトを単純に計算できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Grassmannian $n$-対数関数は、モジュライ空間 $PG_n(\mathbb{C})$ 上の多価正則関数としてどのように明示的に構成できるか？
• RQ2 Grassmannian $n$-対数関数を実現するTate反復積分の明確な公式は何か？
• RQ3 Grassmannian $n$-対数関数の記号とは何か？ そして単体上の統合サイクルとどのように関係しているか？
• RQ4 Grassmannianコサイクル条件を満たす、bi-Grassmannian $n$-対数関数の記号に関する普遍的コサイクル公式は存在するか？
• RQ5 定数変動のモジュロでTate反復積分のコプロダクトはどのように振る舞い、この設定で単純に計算可能か？

主な発見

• Grassmannian $n$-対数関数は、Aomotoの $(n-1)$-対数関数を用いて明示的に定義された閉 $1$-形式 $\Omega$ のTate反復積分として構成される。
• Grassmannian $n$-対数関数の記号は、$\mathrm{I}_n(l_1,\dots,l_{2n}) = \mathrm{Alt}_{2n}\bigl(\Delta(l_1,\dots,l_n) \otimes \cdots \otimes \Delta(l_n,\dots,l_{2n-1})\bigr)$ で与えられ、二つの $(2n+1)$-項関係式を満たす。
• 反復積分は、$G_n(\mathbb{C}) \times G_n(\mathbb{C})$ の一般点におけるフレーム付きHodge-Tate構造のモチーフ的変動の周期であることが示され、定数変動のモジュロで $G_n(\mathbb{C})$ 上の変動に下降する。
• Tate反復積分のコプロダクトは、統合サイクルの構造を用いて、定数変動のイデアルモジュロで単純に計算可能である。
• bi-Grassmannian $n$-対数関数コサイクルの予想的記号は、Grassmannian写像の引き戻し $A_i^*$ と $B_j^*$ を含むコサイクル条件を満たし、$p=q=n$ のときGrassmannian $n$-対数関数の記号と一致する。
• $n \leq 4$ の場合、[G] および [G3] の結果を用いて、そのようなコサイクルの存在が確立されており、一般の $n$ に対する予想を支持する。