[論文レビュー] A simple efficient algorithm in frustration-free one-dimensional gapped systems

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Quantum many-body systems参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1次元のフラストレーションフリーでギャップのあるハミルトニアンの基底状態を近似する、簡素化された確率的多項式時間アルゴリズムを提示する。行列積状態（MPS）を用い、反復的に左状態を乱数抽出と切断によって構築することで、重なりが1−1/poly(n)以上であるMPS近似が得られ、実行時間はn~O(1/ϵ)にまで短縮される。これにより、従来の手法よりも大幅に簡素化されつつも、効率性を維持している。

ABSTRACT

We propose an efficient algorithm for the ground state of frustration-free one-dimensional gapped Hamiltonians. This algorithm is much simpler than the original one by Landau et al., and thus may be easily accessible to a general audience in the community. We present all the details in two pages.

研究の動機と目的

• 1次元のフラストレーションフリーでギャップのあるハミルトニアンの基底状態を計算する、より単純でアクセスしやすいアルゴリズムの開発。
• 従来の研究で用いられた複雑な技術的ツールを排除しつつ、多項式時間の効率性を維持すること。
• 明示的な誤差境界を伴う高精度なMPSによる基底状態近似を達成すること。
• 量子情報および凝縮系物理学の分野に広く関与する研究者に、このアルゴリズムを容易に利用可能にする。

提案手法

• 各サイトiについて、(i, δ, b)-左状態を反復的に構築する。初期状態としてサイト1における左状態から出発する。
• 各ステップで、基底状態を保存し、直交成分を抑圧する、結合次元2~O(1/ϵ³)の行列積演算子Aiを用いる。
• 左演算子の像内から乱数状態を抽出し、基底状態との重なりが大きい新たな左状態を特定する。
• MPS結合次元をn1+o(1)/δに切断することで、精度を保ちつつ効率的な表現を実現する。
• 誤差を制御するために、スミット分解と切断を用いる。これは、面積則とスペクトルギャップに依存する。
• 繰り返しによる成功確率の向上を図り、全体の失敗確率はO(n−1)に抑えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑な道具を用いずに、1次元ギャップがありフラストレーションフリーなハミルトニアンの高精度な基底状態近似を達成できる単純なアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 精度を維持しつつ、実行時間におけるエネルギーギャップϵへの依存を最小限に抑える方法は何か？
• RQ3 基底状態の効率的MPS近似に必要な最小結合次元は何か？
• RQ4 この文脈において、複雑なスペクトル射影技術に代わって、乱数抽出と切断を用いることは可能か？
• RQ5 このアルゴリズムは、量子多体系物理学分野の広範な研究者に、効率的かつアクセス可能であるようにどのように設計できるか？

主な発見

• アルゴリズムの実行時間はn~O(1/ϵ)であり、エネルギーギャップϵにほぼ最適なスケーリングを達成している。
• 高確率で、重なり|⟨Ψ, Ψ0⟩| ≥ 1 − 1/poly(n)を満たすMPS近似を出力する。
• 出力されたMPSの結合次元はn~O(1/ϵ)であり、系サイズに対して多項式より小さいスケーリングを示す。
• スペクトル射影や複雑なテンソルネットワークの縮約といった高度な道具を回避している。
• アルゴリズムの成功確率は1 − 1/poly(n)以上であり、失敗確率はO(n−1)で抑えられている。
• ランドーらとアンダーソンの先行研究を簡素化し、複雑な演算子構成に依存する技術的依存性を排除した。