[論文レビュー] A simple model of a limit order book

Elena Yudovina|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、注文の到着が市場状態に依存しない、簡略化されたマーカフィアン型の限界注文書モデルを提案する。このモデルはフェーズ遷移を示す：臨界価格 $\kappa_b$ よりも低い場所では、有限個の買い注文しか約束されず、同様に $\kappa_a$ よりも高い場所では、有限個の売り注文しか約束されない。区間 $(\kappa_b, \kappa_a)$ では、両側に無限回の空虚サイクルが発生する。本モデルは、注文価格が一様分布に従う場合に $\kappa_b$ および $\kappa_a$ の明示的表現を導出し、正再帰性を仮定することで、最高買い価格および最低売り価格の定常状態解析が可能となる。

ABSTRACT

We formulate a simplified model of a limit order book, in which the arrival process is independent of the current state. We prove a phase transition result: there exist prices $κ_b$ and $κ_a$ such that, for any $ε> 0$, only finitely many bid (ask) departures occur at prices below $κ_b-ε$ (above $κ_a+ε$), while the interval $(κ_b+ε, κ_a - ε)$ infinitely often contains no bids, and infinitely often contains no asks. We derive expressions for $κ_b$ and $κ_a$, which we solve in the case of uniform arrivals. We conjecture the positive recurrence of a modified model, and find the steady-state distribution of the highest bid and of the lowest ask assuming the positive recurrence.

研究の動機と目的

• 取引者の行動に関する複雑な仮定を避ける、取り扱いやすいマーカフィアン型の限界注文書モデルの構築を目的とする。
• 市場状態に依存しない独立な到着プロセスのもとで、買い・売り価格の長期的挙動を分析すること。
• 市場清算価格からの価格距離に応じた注文執行頻度におけるフェーズ遷移を同定すること。
• 注文価格が一様分布に従う場合の臨界閾値 $\kappa_b$ および $\kappa_a$ の明示的表現を導出すること。
• 修正されたモデルの正再帰性を仮定し、最高買い価格および最低売り価格の定常分布を導出すること。

提案手法

• 市場状態とは無関係に買い注文および売り注文が独立して到着する連続時間マーカフィアン過程として限界注文書をモデル化する。
• 到着注文がBid-Askスプレッドを越える価格であれば、利用可能な最良価格で即座に約束され、そうでなければ注文書に追加されるようにダイナミクスを定義する。
• 特に修正されたモデルの文脈において、安定性および再帰性を解析するため、リャプノフ関数を用いる。
• 連続的な注文書を近似するためにビニング技術を適用し、離散状態解析により $\kappa_b$ および $\kappa_a$ の境界を導出する。
• 最高買い価格および最低売り価格の同時分布を可視化するためのシミュレーションを実施し、極限密度の存在を示唆する。
• 累積分布関数および積分を用いて、注文価格が一様分布に従う場合の $\kappa_b$ および $\kappa_a$ の解析的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 注文到着が独立である限界注文書モデルにおいて、臨界価格帯に近い注文のみが無限回約束されるフェーズ遷移が発生するか？
• RQ2 有限回の約束と無限回の約束に分ける臨界閾値 $\kappa_b$ および $\kappa_a$ の正確な値は何か？
• RQ3 修正されたモデルの正再帰性は確立可能か？ その場合、最高買い価格および最低売り価格の定常分布の存在が保証される。
• RQ4 正再帰性を仮定した場合、最高買い価格および最低売り価格の定常分布はどのようなものか？
• RQ5 限界注文書の形状、特に最良買い・売り価格からの距離ごとの注文数の時間的挙動はどのように振る舞うか？

主な発見

• フェーズ遷移が存在する：任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\kappa_b - \epsilon$ よりも低い場所では有限個の買い注文しか約束されず、同様に $\kappa_a + \epsilon$ よりも高い場所では有限個の売り注文しか約束されない。
• 臨界閾値は $\kappa_b = \sup\{x : \int_{-\infty}^x f_b(y)\,dy \leq \int_x^\infty f_a(y)\,dy\}$ および $\kappa_a = \inf\{x : \int_x^\infty f_a(y)\,dy \leq \int_{-\infty}^x f_b(y)\,dy\}$ で与えられる。
• 一様到着の場合、$\kappa_b = \frac{1}{4}$ および $\kappa_a = \frac{3}{4}$ であり、累積到着レートのバランスから導出される。
• 本モデルは、修正されたバージョンの正再帰性を仮定しており、これにより最高買い価格および最低売り価格の極限同時分布の存在が示唆される。
• シミュレーション結果から、最高買い価格および最低売り価格の同時分布に極限的表面が存在することが示唆されるが、閉形式の表現は得られていない。
• 最高買い価格付近の買い注文数は変動し、最高買い価格が高密度のビンにある場合に一時的にピークを示すことがある。一様到着の下では、最良価格付近の注文分布は疎である。