[論文レビュー] A simple polynomial time algorithm to approximate the permanent within a simply exponential factor

Alexander Barvinok|ArXiv.org|Apr 9, 1997

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、修正されたGodsil-Gutman推定法を用いて、n×nの非負行列のpermanentを2^{O(n)}の要因内で近似する、単純なランダム化多項式時間アルゴリズムを提示する。この手法は、正定値行列の混合判別式を活用することで、効率的にこの近似を達成する。

ABSTRACT

We present a simple randomized polynomial time algorithm to approximate the mixed discriminant of $n$ positive semidefinite $n imes n$ matrices within a factor $2^{O(n)}$. Consequently, the algorithm allows us to approximate in randomized polynomial time the permanent of a given $n imes n$ non-negative matrix within a factor $2^{O(n)}$. When applied to approximating the permanent, the algorithm turns out to be a simple modification of the well-known Godsil-Gutman estimator.

研究の動機と目的

• 非負行列のpermanentを近似する多項式時間アルゴリズムの開発。
• 二重指数的ではなく、単純な指数的要因での近似を達成すること。
• 正定値行列の混合判別式へのアプローチの拡張。
• 従来の複雑度の上限を改善する、単純で効率的な手法の提供。
• Godsil-Gutman推定法を改良し、誤差が有界な多項式時間近似を保証できるようにすることの証明。

提案手法

• n個の正定値n×n行列の混合判別式に基づくランダム化アプローチを用いる。
• 従来、ヒューリスティックに使われてきたGodsil-Gutman推定法の修正版を適用する。
• ランダム行列上のサンプリングと期待値計算を用いて、混合判別式を推定する。
• 近似要因は集中不等式および正定値行列の性質から導出される。
• アルゴリズムはnに関して多項式時間で実行され、誤差は2^{O(n)}の要因で有界である。
• permanentから混合判別式への還元により、対称正定値行列の既知の構造的性質を活用できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負行列のpermanentは、多項式時間で単純な指数的要因内で近似可能か？
• RQ2 従来の指数的要因の上限を改善する、単純で効率的なアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 Godsil-Gutman推定法は、誤差が有界な多項式時間近似を達成するために、形式的に正当化され、強化可能か？
• RQ4 正定値行列の混合判別式と非負行列のpermanentの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 多項式時間アルゴリズムを用いて、permanentの達成可能な最もタイトな近似要因は何か？

主な発見

• アルゴリズムは、n×nの非負行列のpermanentを2^{O(n)}の要因内で近似する。
• ランダム化多項式時間で実行され、実用的および理論的用途において効率的である。
• この手法は、誤差が保証された修正版Godsil-Gutman推定法に基づく。
• n個の正定値n×n行列の混合判別式も、同じアルゴリズムを用いて2^{O(n)}の要因内で近似可能である。
• このアプローチは、混合判別式とpermanentの間の直接的かつ効率的な関係を確立し、近似を可能にする。
• 二重指数的要因を必要としていた従来のアルゴリズムや、形式的な多項式時間保証が欠落していた手法に比べ、本結果は改善している。