[論文レビュー] A simple proof of a theorem of Kirchberg and related results on $C^*$-norms

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 1995

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 83

ひとこと要約

本稿は、任意の自由群の全群C*-代数が $ C^*(F) \otimes_{\min} B(H) = C^*(F) \otimes_{\max} B(H) $ を満たすことを、演算子空間理論に基づく簡潔な証明により提示している。この結果は、同じ性質を満たす単位元をもつC*-代数の自由積へと拡張されている。主な洞察は、ユニタリ生成子に関連する写像の完全有界ノルムを用いて、これらの生成子の線形包と $ B(H) $ とのテンソル積における最小および最大テンソルノルムを等置することにあり、これによりC*-代数における弱期待値性質（WEP）と正確性（exactness）の新たな特徴づけが得られる。

ABSTRACT

Recently, E.\ Kirchberg [K1--2] revived the study of pairs of $C^*$-algebras $A,B$ such that there is only one $C^*$-norm on the algebraic tensor product $A\otimes B$, or equivalently such that $A \otimes_{ m min}B = A\otimes_{ m max}B$. Recall that a $C^*$-algebra is called nuclear cf.\ [L, EL] if this happens for any $C^*$-algebra $B$. Kirchberg [K1] constructed the first example of a non-nuclear $C^*$-algebra such that $A\otimes_{ m min} A^{op} = A \otimes_{ m max} A^{op}$. He also proved the following striking result [K2] for which we give a very simple proof and which we extend. \proclaim Theorem 0.1. {\bf (Kirchberg [K2]).} Let $F$ be any free group and let $C^*(F)$ be the (full) $C^*$-algebra of $F$, then $$C^*(F) \otimes_{ m min} B(H) = C^*(F) \otimes_{ m max} B(H).$$

研究の動機と目的

• 任意の自由群 $ F $ に対して $ C^*(F) \otimes_{\min} B(H) = C^*(F) \otimes_{\max} B(H) $ が成り立つことを、簡素な演算子空間に基づく証明を提供すること。
• この結果を、$ B(H) $ と同様のノルム等式を満たす単位元をもつC*-代数の自由積へと拡張すること。
• 特定の演算子空間部分構造における最小および最大テンソルノルムの等価性を通じて、C*-代数における弱期待値性質（WEP）と正確性の特徴づけをすること。
• 関連写像の完全有界ノルムとテンソル積上のC*-ノルムの等価性との間の関係を確立すること。

提案手法

• ユニタリ生成子によって生成されるC*-代数の構造を分析するために、特に完全有界写像および $ \|\cdot\|_{cb} $ ノルムの理論を用いた演算子空間理論の応用。
• この線形包 $ E $（$ C^*(F) $ の単位元および自由ユニタリ生成子の線形包）におけるノルムの等価性を確認することで問題を簡略化し、この包が完全等長同型の意味でC*-代数を決定することを活用。
• 完全有界写像のファクタライゼーション定理を用いて、写像 $ T: \ell_\infty(I) \to B(H) $ のノルムを、$ C^*(F) \otimes_{\min} B(H) $ 内の $ \sum U_i \otimes x_i $ の作用素ノルムに関連付ける。
• コーシー・シュワルツ型不等式（補題3）を用いて、ユニタリと作用素を含む和のノルムを評価し、最小ノルムの制御を可能にする。
• 写像 $ T $ の完全有界性と $ \sum U_i \otimes x_i $ のノルムの最小性との間の同値性を確立し、$ \|T\|_{cb} = \| \sum U_i \otimes x_i \|_{\min} $ と特定する。
• von Neumann代数への結果の拡張として、$ \|\cdot\|_{\rm nor} $ ノルムを用い、任意のvon Neumann代数 $ N $ に対して $ C^*(F) \otimes_{\rm nor} N = C^*(F) \otimes_{\max} N $ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の自由群 $ F $ に対して $ C^*(F) \otimes_{\min} B(H) = C^*(F) \otimes_{\max} B(H) $ が成り立つか、Kirchbergの元々の証明よりも簡素な方法で示せるか？
• RQ2 各 $ i \in I $ に対して $ A_i \otimes_{\min} B(H) = A_i \otimes_{\max} B(H) $ が成り立つとき、自由積 $ A = \ast_{i\in I} A_i $ に対しても $ A \otimes_{\min} B(H) = A \otimes_{\max} B(H) $ が成り立つか？
• RQ3 ユニタリ生成子に関連する写像の完全有界ノルムが、最小および最大テンソルノルムの等価性をどれほど決定づけるか？
• RQ4 ユニタリの線形包における最小および最大ノルムの等価性は、C*-代数における弱期待値性質（WEP）と正確性とどのように関係するか？
• RQ5 演算子空間的手法を用いて、任意のvon Neumann代数 $ N $ に対して $ C^*(F) \otimes N $ 上の $ \|\cdot\|_{\rm nor} $ ノルムが最大ノルムと一致することを示せるか？

主な発見

• 本稿は、任意の自由群 $ F $ に対して $ C^*(F) \otimes_{\min} B(H) = C^*(F) \otimes_{\max} B(H) $ が成り立つことを示し、演算子空間手法を用いた新たなシンプルな証明を提供している。
• 各 $ A_i $ が $ A_i \otimes_{\min} B(H) = A_i \otimes_{\max} B(H) $ を満たすならば、自由積 $ A = \ast_{i\in I} A_i $ に対しても $ A \otimes_{\min} B(H) = A \otimes_{\max} B(H) $ が成り立つことを証明している。
• 任意の離散アメニタブル群の自由積の全C*-代数について、$ A \otimes_{\min} B(H) = A \otimes_{\max} B(H) $ が成り立つ。
• 本稿は、任意のvon Neumann代数 $ N $ に対して $ C^*(F) \otimes_{\rm nor} N = C^*(F) \otimes_{\max} N $ が成り立つことを示し、Kirchbergの結果を $ \|\cdot\|_{\rm nor} $ ノルムへと拡張している。
• ユニタリ生成子と単位元の線形包 $ E $ が $ d_{SK}(E) = 1 $ を満たすならば、$ A $ は正確であることが示され、正確性の新たな十分条件が得られる。
• 写像 $ T: \ell_\infty(I) \to B(H) $ の完全有界性と $ \sum U_i \otimes x_i $ の最小ノルムの等価性が、$ \|T\|_{cb} = \| \sum U_i \otimes x_i \|_{\min} $ として確立され、これは主要な技術的道具である。