[論文レビュー] A Simple Proof of the Existence of a Planar Separator

Sariel Har-Peled|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、円パッキング定理を用いて、平面的グラフが $ n $ 頂点をもつとき、各成分が最大 $ 9n/10 $ 頂点であるような $ O(ar{\sqrt{n}}) $ のサイズの分離子をもつことを示す、簡単で自己完結的な証明を提示する。この手法は、ディスクパッキングにおけるランダムなリングの交差を用いて期待される分離子の大きさを導出し、三角形分割されたグラフにおけるサイクル分離子および $ k $-プレイボールグラフと $ k $-最近傍グラフにおける分離子の証明へと拡張される。

ABSTRACT

We provide a simple proof of the existence of a planar separator by showing that it is an easy consequence of the circle packing theorem. We also reprove other results on separators, including: (A) There is a simple cycle separator if the planar graph is triangulated. Furthermore, if each face has at most $d$ edges on its boundary, then there is a cycle separator of size O(sqrt{d n}). (B) For a set of n balls in R^d, that are k-ply, there is a separator, in the intersection graph of the balls, of size O(k^{1/d}n^{1-1/d}). (C) The k nearest neighbor graph of a set of n points in R^d contains a separator of size O(k^{1/d} n^{1-1/d}). The new proofs are (arguably) significantly simpler than previous proofs.

研究の動機と目的

• 円パッキング定理を用いて、平面的分離子定理の簡潔で自己完結的な証明を提供すること。
• 特に三角形分割されたグラフや幾何的交差グラフに対して、既存の証明を単純化すること。
• 幾何確率を用いて、三角形分割された平面的グラフおよび幾何的グラフにおけるサイクル分離子の境界を確立すること。
• 有界プレイをもつ円パッキングの有限アルゴリズム的構成の可能性を、未解決問題として探求すること。

提案手法

• コーエッベの定理（円パッキング定理）を用いて、平面的グラフを互いに内部で交差しないディスクのキッシンググラフとして表現する。
• 中心の数が $ n/10 $ 個であるような最小のディスクを選び、それを半径 1 に正規化し、原点を中心とする。
• ランダムに半径 $ x \in [1,2] $ を選択し、半径 $ x $ の円 $ C_x $ を定義する。$ C_x $ と交差するディスクの集合 $ S $ が分離子を形成する。
• 面積と確率の議論を用いて、$ S $ の期待サイズを評価し、半径が大きい・小さいカテゴリにディスクを分類する。
• 幾何的被覆議論（例えば、半径 2 のディスクを 9 個の半径 1 のディスクで被覆する）を用いて、分離子除去後の成分サイズを評価する。
• 倍加次元と被覆補題を用いて、$ k $-プレイボールグラフおよび $ k $-最近傍グラフへとこの手法を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円パッキング定理を用いて、平面的分離子定理をより単純に証明できるか？
• RQ2 三角形分割された平面的グラフにおけるサイクル分離子のサイズの最もタイトな境界は何か？
• RQ3 同じ幾何的確率的手法を $ k $-プレイ幾何的交差グラフへと拡張できるか？
• RQ4 プレイが有界（つまり、平面上の点が多くのディスクに覆われない）ような平面的グラフのディスク表現を有限アルゴリズムで構成できるか？

主な発見

• 任意の平面的グラフは、サイズ $ 11\sqrt{n} $ の分離子をもち、各成分が最大 $ 9n/10 $ 頂点であるように分割可能である。
• 最大面次数が $ d $ の三角形分割平面的グラフに対して、サイズ $ O(\sqrt{dn}) $ のサイクル分離子が存在する。
• $ \mathbb{R}^d $ における $ n $ 個のボールの $ k $-プレイ集合では、交差グラフがサイズ $ O(k^{1/d} n^{1-1/d}) $ の分離子をもつ。
• $ \mathbb{R}^d $ における $ k $-最近傍グラフに対しても、サイズ $ O(k^{1/d} n^{1-1/d}) $ の分離子が存在する。
• ランダムなリングの交差によって形成される分離子 $ S $ の期待サイズは、ディスク半径に関する面積と確率の議論により、$ 11\sqrt{n} $ で抑えられる。
• 証明は従来の構成よりも単純であるが、定数は最適ではない。この証明の核心的洞察は、円パッキング定理そのものである。