[論文レビュー] A Simple Quantum-Mechanical Model of Spacetime I: Microscopic Properties of Spacetime

Jarmo Mäkelä|ArXiv.org|May 26, 2008

Relativity and Gravitational Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、プランクスケールの量子ブラックホールがグラフ構造を形成する量子力学的時空モデルを提案する。時空は巨視的極限において出現する。一般相対性理論の場の方程式を宇宙定数がゼロで再現し、等間隔の離散的面積スペクトルを予測し、高温におけるブラックホールのエントロピーがホライズン面積に対して対数的に比例することを示し、重力の熱力学的原理と整合的である。

ABSTRACT

This is the first part in a series of two papers, where we consider a specific microscopic model of spacetime. In our model Planck size quantum black holes are taken to be the fundamental building blocks of space and time. Spacetime is assumed to be a graph, where black holes lie on the vertices. In this first paper we construct our model in details, and show how classical spacetime emerges at the long distance limit from our model. We also consider the statistics of spacetime.

研究の動機と目的

• プランクスケールの量子ブラックホールを基本的構成要素とする、シンプルな時空の量子力学的モデルの構築を目的とする。
• 巨視的スケールにおける量子揺らぎから、古典的時空幾何がどのように出現するかを示すこと。
• 一般相対性理論および半古典的重力の主要な結果、例えばアインシュタインの場の方程式やホーキング／アンルヒ効果を再現すること。
• 時空の統計力学を検討し、微視的量子ブラックホール状態からその熱力学的性質を導出すること。
• 時間と因果性が、このモデルの巨視的極限において統計的現象として出現するかどうかを調査すること。

提案手法

• 頂点がプランクスケールの量子ブラックホールを表し、辺が因果的または幾何的接続を表すグラフとして時空をモデル化する。
• 大スケールにおいて、局所幾何がミンコフスキー計量を持つ平坦な4シンプレックスに近似すると仮定する対応仮説を用いる。
• 特にジャコブソンによるδQ = T dSからのアインシュタイン方程式の導出を応用し、量子ブラックホール統計と古典的重力の間の接続を確立する。
• 4シングレキシス内の幾何的関係を用いて面積演算子とそのスペクトルを導出し、離散的で等間隔の面積固有値が得られることを示す。
• 統計力学を用いて2次元表面のエントロピーを計算し、高温における面積依存性が対数的であることを示す。
• 行列代数を用いて、面積の変化と辺の長さの変化との幾何的関係を逆算し、主要な式（例えば式5.30）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プランクスケールの量子ブラックホールから構成されるグラフベースの時空モデルは、大スケールで古典的一般相対性理論を再現できるか？
• RQ2 このモデルは、時空表面の面積に対して離散的で等間隔のスペクトルを予測するか？
• RQ3 この量子モデルにおいて、特に高温状態下でブラックホールのエントロピーはホライズン面積に対してどのように依存するか？
• RQ4 ホーキング効果およびアンルヒ効果は、量子ブラックホール構成要素の統計力学から生じるか？
• RQ5 このモデルにおいて、時間は基本的概念であるか、それとも統計的・統計的現象として巨視的極限に出現するか？

主な発見

• モデルは巨視的極限において、宇宙定数がゼロのアインシュタインの場の方程式を再現する。
• 2次元表面の面積は、4シングレキシスにおける幾何的量子化から得られる、等間隔の離散的スペクトルを持つ。
• 高温において、ブラックホールのエントロピーはホライズン面積に対して対数的に比例し、ベーケンシュタイン＝ホーキングの比例則とは逸脱する。
• モデルは低温の半古典的極限において、ホーキングおよびアンルヒ効果を再現する。
• 時間と因果性は、グラフ構造の巨視的極限において統計的に出現するが、基本的概念として出現しない。
• 古典的幾何を回復するために不可欠な対応仮説は、第一原理から導出されるのではなく、仮定される必要がある。