[論文レビュー] A simple solver for the fractional Laplacian in multiple dimensions

Victor Minden, Lexing Ying|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 56被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、特異性除去と台形則を用いた正則グリッド上の分数ラプラシアンの単純で2次精度の離散化を提示する。この手法により、FFTを用いた高速な適用が可能となり、標準ラプラシアンに基づくプリコンディショニング付きクリロフ部分空間法により、分数拡散問題の効率的解法が実現される。αが2に近い場合でも、最適収束性と頑健な性能が示された。

ABSTRACT

We present a simple discretization scheme for the hypersingular integral representation of the fractional Laplace operator and solver for the corresponding fractional Laplacian problem. Through singularity subtraction, we obtain a regularized integrand that is amenable to the trapezoidal rule with equispaced nodes, assuming a high degree of regularity in the underlying function (i.e., $u\in C^6(R^d)$). The resulting quadrature scheme gives a discrete operator on a regular grid that is translation-invariant and thus can be applied quickly with the fast Fourier transform. For discretizations of problems related to space-fractional diffusion on bounded domains, we observe that the underlying linear system can be efficiently solved via preconditioned Krylov methods with a preconditioner based on the finite-difference (non-fractional) Laplacian. We show numerical results illustrating the error of our simple scheme as well the efficiency of our preconditioning approach, both for the elliptic (steady-state) fractional diffusion problem and the time-dependent problem.

研究の動機と目的

• 多次元における分数ラプラシアンの単純で正確かつ効率的な離散化スキームの開発。
• 有界領域におけるディリクレ境界条件を満たす空間分数拡散問題の高速解法の実現。
• α → 2 の際に生じる離散分数ラプラシアン系の悪条件性を、効果的なプリコンディショニング戦略により緩和すること。
• 特に領域境界付近で解の正則性が制限される問題へ、単純な数値積分スキームの適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 分数ラプラシアンの特異的核を正則化するために、テイラー展開を用いた特異性除去を実施。
• 正則化された被積分関数を等間隔の直交グリッド上で台形則により離散化し、並進不変性を持つ離散作用素を導出。
• 離散作用素は高速フーリエ変換（FFT）を用いて効率的に適用可能となり、計算量はO(N log N)にまで低減される。
• 得られた線形系の解法には、標準有限差分ラプラシアンに基づくプリコンディショナーをクリロフ部分空間法と組み合わせて用いる。
• 離散分数ラプラシアンを、標準ラプラシアンと低ランクまたはスパースな補正行列の和に分解することで、プリコンディショナーを構築。
• L字型領域などのオクルージョン付き直交グリッドへの拡張は、領域の補集合に対応するグリッド点を削除することで実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異性除去を用いた場合、多次元における分数ラプラシアンに対して単純で高次精度の数値積分スキームを構築可能か？
• RQ2 得られる離散作用素は並進不変性を保ち、FFTを用いた高速適用が可能か？
• RQ3 αが2に近い場合に生じる離散分数ラプラシアンの悪条件性を、標準ラプラシアンに基づくプリコンディショナーで効果的に緩和可能か？
• RQ4 特に領域境界付近で正則性が制限される解に対して、このスキームの収束速度はどのようになるか？
• RQ5 プリコンディショニング付きクリロフ法の性能は、次元数や分数階数αの変化に伴いどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 滑らかな関数（u ∈ C⁶(Rᵈ)）に対して、グリッド間隔hにおける2次収束性を達成。
• より粗い解（有界領域で一般的に観察される）に対しては、ℓ²ノルムにおいて通常1次収束性を示す。
• 有限差分ラプラシアンに基づくプリコンディショナーは、特にαが大きい値の場合に、クリロフ反復回数を顕著に削減した。
• 2次元では、CG法にプリコンディショニングを適用した場合、α = 1.25～1.75の範囲で12～29回の反復を要し、実行時間はO(N log N)に比例してスケーリングした。
• 3次元でも同様に頑健な性能を示し、α = 1.75では反復回数が30～170に増加したが、プリコンディショニングの有効性は維持された。
• 誤差推定におけるリチャードソン補外のレートは約1.0～1.5であり、テストしたグリッドにおいて最適収束性が確認された。