[論文レビュー] A simplified derivation of the Linear Noise Approximation

Edward W. Wallace|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2010

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ひとこと要約

本稿では、マスター方程式やフォッカー・プランク方程式を用いずに、確率的差分方程式および化学ランジュバン方程式を用いることで、離散的な確率的過程（例：化学反応系）に対する線形ノイズ近似（LNA）の簡略化された導出を提示する。この手法により、ノイズ摂動のための確率的微分方程式を直接得ることができ、通常微分方程式および確率的微分方程式に慣れ親しんだ読者にとって直感的になる。一方で、標準的な系サイズ展開と同一の決定論的および線形ノイズダイナミクスを回復する。

ABSTRACT

Given a discrete stochastic process, for example a chemical reaction system or a birth and death process, we often want to find a continuous stochastic approximation so that the techniques of stochastic differential equations may be brought to bear. One powerful and useful way to do this is the system size expansion of van Kampen to express a trajectory as a small stochastic perturbation to a deterministic trajectory, using a small parameter related to the volume of the system in question. This is usually pursued only up to first order, called the Linear Noise Approximation. The usual derivation of this proceeds via the master equation of the discrete process and derives a Fokker-Planck equation for the stochastic perturbation, both of which are equations for the evolution of probability distributions. Here we present a derivation using stochastic difference equations for the discrete process and leading, via the chemical Langevin equation of Gillespie, directly to a stochastic differential equation for the stochastic perturbation. The new derivation, which does not yield the full system size expansion, draws more explicitly on the intuition of ordinary differential equations so may be more easily digestible for some audiences.

研究の動機と目的

• マスター方程式やフォッカー・プランク形式に不慣れな研究者にとって、線形ノイズ近似の導出をよりアクセス可能な形で提供すること。
• マスター方程式を用いた従来の系サイズ展開に代えて、確率的差分方程式および化学ランジュバン方程式に基づく導出を提示すること。
• 常微分方程式および確率的微分方程式の背景を持つ読者にとって、LNAの導出をより直感的にすること。
• LNAの有効性が保証される条件を明確にすること、特に化学ランジュバン近似に必要な時間スケールおよび系サイズの仮定を特定すること。

提案手法

• 反応率と時間スケールτにおける遷移イベントを用いて、離散的な確率的過程を記述する。ここでτは反応回数が大きく、反応率が概ね一定と見なせる時間間隔とする。
• τ-ループ近似を用いて、種の数の増分を独立なガウス確率変数の和としてモデル化し、化学ランジュバン方程式に到達する。
• アンザッツ K = Ωx + √Ωξ を導入し、系を決定論的成分 x とスケーリング係数 1/√Ω を持つ確率的摂動 ξ に分解する。
• 決定論的解 x のまわりで漂移項および拡散項のテイラー展開を行い、1/√Ω における一次項のみを残す。
• ξ に対する線形ランジュバン方程式を導出する。漂移項は決定論的レート関数のヤコビアンに支配され、ノイズ項は拡散係数からの乗法的ノイズを有する。
• イト解釈を用いることで、特に内部ノイズ過程において、標準的なLNAの定式化と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マスター方程式やフォッカー・プランク方程式を用いずに、線形ノイズ近似を導出することは可能か？
• RQ2 系サイズ展開を、確率的微分方程式の観点から再表現することで、アクセス性を向上させることは可能か？
• RQ3 τ-ループ近似は、化学ランジュバン方程式を介したLNAの直接的導出をどのように可能にするか？
• RQ4 簡略化された導出が、標準的な系サイズ展開と同一の結果をもたらす条件は何か？
• RQ5 なぜLNAは通常一次項までに制限されるのか？より直感的な導出は、この切り捨てを正当化できるか？

主な発見

• 確率的差分方程式および化学ランジュバン方程式を用いた簡略化された導出は、標準的な系サイズ展開と同一の決定論的および線形ノイズダイナミクスを回復する。
• 確率的摂動 ξ は、決定論的レート関数のヤコビアンに支配される漂移項と、全遷移レートの平方根に比例するノイズ項を持つ線形ランジュバン方程式を満たす。
• 導出プロセスは、白色ノイズ入力の無相関性が、基本的遷移が一度に一つの集団にのみ影響を与えるという事実に起因することを明確に示している。
• 決定論的系の固定点において、ノイズ振幅は、より単純な形になる方の形式に従って、前向きまたは逆向きの遷移レートのいずれかで同値に表現可能である。
• 化学ランジュバン方程式が成立するために必要な条件——具体的には、反応レートの逆数よりも十分に大きなτ——は、LNAの有効性に対しても必要不可欠である。
• 本手法は、特にODEおよびSDEの背景を持つ読者にとって、確率的分布関数の時間発展方程式を学ぶ必要なく、LNAへのより直感的かつアクセス可能な道筋を提供する。