[論文レビュー] A Single Scale Infinite Volume Expansion for Three-Dimensional Many Fermion Green's Functions

J. Le Magnen, Vincent Rivasseau|ArXiv.org|Sep 6, 1995

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、補助的スケール分解とハダマードの不等式を用いて、三次元多フェルミオングリーン関数の新しい単一スケール無限体積展開を導入する。この手法により、単一スケールまわりの摂動展開がスケールに依存しない収束半径を持つことが証明され、三次元におけるBCS超伝導の厳密な非摂動的構成への重要な一歩が得られる。

ABSTRACT

This paper is part of a program by Feldman, Trubowitz and ourselves to construct a mathematically rigorous version of the BCS mechanism for superconductivity. In previous papers the renormalization group around the Fermi surface was defined and analyzed at all orders in perturbation theory. Non-perturbative results (also called constructive results) correspond to the resummation of all graphs in perturbation theory and are harder to obtain. In a previous paper (Helv. Phys. Acta, 65, 679 (1992) we introduced a cluster expansion for many Fermion systems in two space dimensions based on a so-called sector or angular decomposition. However this method does not work in three space dimensions. In this paper a completely different expansion is introduced, based on an auxiliary scale decomposition and the use of the Hadamard inequality. We prove that the perturbative expansion for a single scale of the renormalization group has a convergence radius independent of the scale. This is a typical result which we cannot obtain in three dimensions by naive extrapolation of the sector method. Although we do not treat in this paper the full (multiscale) system, we hope this new method to be a significant step towards the rigorous construction of the BCS theory of superconductivity in three space dimensions.

研究の動機と目的

• 三次元空間における超伝導のBCSメカニズムの数学的に厳密な枠組みを構築すること。
• 2次元では成功したが、3次元では失敗するセクターカバー（角度）分解法の限界を克服すること。
• 3次元フェルミオン系における単一スケールの再生群展開の非摂動的収束結果を確立すること。
• 将来的なマルチスケール再生群フレームワークへの拡張の基盤を築くこと。
• 3次元における多フェルミオングリーン関数の無限体積極限を構成的に扱うための手法を提供すること。

提案手法

• 2次元で用いられた角度分解に代わる、補助的スケール分解に基づく新しいクラスターエクスパンションを導入する。
• フェルミオンのグリーン関数の運動量空間における崩壊を制御するためにハダマールの不等式を用いる。
• スケールパrameterに依存しない収束性に注目し、単一スケールにおける摂動展開を分析する。
• フェルミオンのファインマン図の和を単一スケール設定で制御するため、構成的場理論的手法を用いる。
• 無限体積および三次元空間に適応した再生群技術を適用する。
• すべてのスケールにわたる摂動級数の収束半径に対して一様な境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元多フェルミオングリーン関数の単一スケール摂動展開が、スケールパrameterに一様に収束することを証明できるか？
• RQ2 3次元においてセクター法が失敗するという事実が、根本的に新しい展開技法の必要性を示唆するか？
• RQ3 ハダマールの不等式を用いて、3次元におけるフェルミオン相関関数の崩壊を効果的に制御できるか？
• RQ4 3次元における単一スケール再生群展開の収束半径をスケールに依存しない形で構成できるか？
• RQ5 BCS超伝導の文脈において、この新しい展開手法は、従来の手法と比較して実行可能性および厳密性の面で優位性を示せるか？

主な発見

• 再生群の単一スケールにおける摂動展開が、スケールに依存しない収束半径を持つことが示され、非自明な重要な結果である。
• 本手法は、3次元におけるセクター分解の限界を効果的に回避し、非摂動的結果への新たな道筋を提供する。
• 補助的スケール分解とハダマールの不等式の組み合わせにより、無限体積におけるフェルミオン相関関数の制御が十分に行える。
• 収束結果は、有限系に限らず、完全な無限体積極限においても成立する。
• 本手法は、三次元空間におけるBCS理論の厳密な構成への重要な一歩を提供する。
• マルチスケール系の完全な取り扱いまではなされていないが、単一スケールの収束性が、将来的な拡張のための堅実な基盤を提供している。