[論文レビュー] A Single Server Retrial Queue with Different Types of Server Interruptions

Tewfik Kernane|ArXiv.org|Feb 12, 2009

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的再試行ポリシーの下で、複数の中断タイプ（破壊的、非破壊的、アイドル中断）を有する単一サーバー再試行キューを分析する。生成関数とラプラス＝スティルチェス変換を用いて定常状態における連合分布を導出し、システムの安定性に関する条件を確立するとともに、極限確率および性能指標の明示的表現を提供する。

ABSTRACT

We consider a single server retrial queue with the server subject to interruptions and classical retrial policy for the access from the orbit to the server. We analyze the equilibrium distribution of the system and obtain the generating functions of the limiting distribution.

研究の動機と目的

• サーバーが破壊的、非破壊的、アイドル中断を含む複数の中断タイプに直面する単一サーバー再試行キューをモデル化・分析すること。
• 一般のサービス時間および中断時間分布を想定した場合の、システム安定性の必要十分条件を確立すること。
• 生成関数と埋め込み方程式を用いて、サーバー状態とオービットサイズの連合定常分布を導出すること。
• 極限確率の明示的表現を用いて、システム負荷、キュー長、サーバー利用率などの性能指標を計算すること。
• サーバー障害に関する先行研究を一般化し、回復行動が異なる異なる中断タイプを組み込んだこと。

提案手法

• サーバー状態（空き、ビジー、破壊的中断、非破壊的中断、アイドル中断）とオービットサイズを追跡する状態を有する連続時間マーカフ過程としてシステムをモデル化する。
• 到着率、再試行率、中断プロセスを組み込んだ、連合確率密度の時間発展を記述する微分差分方程式を用いる。
• 生成関数 $ P_F(z), P_B(x,z), P_D(x,z), P_N(x,y,z), P_I(x,z) $ を用いて、方程式系を解ける形に変換する。
• システムの簡略化と定常分布の閉形式表現の達成を目的に、補助関数 $ h(z) $ と $ \chi(z) $ を導入する。
• 正規化条件とサービス・中断率を含む安定性条件を用いて、定常確率 $ P_F(1) $ を明示的に導出する。
• 一般のサービス時間および中断時間分布を維持するため、ラプラス＝スティルチェス変換 $ \beta(s), \beta_d(s), \beta_n(s), \beta_i(s) $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の中断タイプを有する単一サーバー再試行キューの安定性のための必要十分条件は何か？
• RQ2 破壊的、非破壊的、アイドル中断の組み込みが、システムの定常状態分布にどのように影響を与えるか？
• RQ3 一般のサービス時間および中断時間分布を想定した場合、サーバー状態とオービットサイズの連合定常分布の明示的形は何か？
• RQ4 極限分布の生成関数は、キュー長やサーバー利用率などの性能指標とどのように関係するか？
• RQ5 異なる中断タイプ（破壊的対非破壊的）が、システムの長期的挙動および安定性に与える影響は何か？

主な発見

• システムは、有効到着率が有効サービス率未満である場合にかつその場合に限り安定である。安定性条件は $ \rho < 1 $ を含むもので、$ \rho $ はサービスおよび中断パラメータから導出される。
• 定常確率 $ P_F(1) $ は、$ \nu_d, \nu_n, \nu_i, \beta, \beta_d, \beta_n, \beta_i $ およびそれらの一次モーメントを含む、サービスおよび中断率の関数として明示的に計算される。
• 生成関数 $ P_F(z) $ は、$ P_F(1) \exp\left\{ \int_1^z \Psi(u) du \right\} $ として表現され、$ \Psi(z) $ はシステムパラメータおよび埋め込みダイナミクスの依存性を捉える。
• 経過サービス時間 $ x $ を有するビジー状態の連合密度 $ P_B(x,z) $ は、$ P_B(0,z)(1-B(x))\exp(-h(z)x) $ として与えられ、埋め込み率関数 $ h(z) $ に依存する。
• すべての状態 $ P_D(x,z), P_N(x,y,z), P_I(x,z) $ に対して明示的表現が得られ、それぞれの中断タイプと記憶なし再試行行動が組み込まれている。
• オービットサイズやサーバー状態確率などの性能指標は、生成関数と正規化条件から導出可能であり、システム挙動の定量的分析が可能となる。