[論文レビュー] A single $T$-gate makes distribution learning hard

Marcel Hinsche, Marios Ioannou+7 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所的量子回路に1つのTゲートを追加することで、その出力分布が、量子アルゴリズムですら学習しにくくなることを示している。任意の統計的クエリアルゴリズムに対して、深さ-$n^{\Omega(1)}$の量子回路の学習は困難であり、標準的な生成モデルでも、超対数的深さのクリフォード回路は学習が難しい。これは、近い将来のハイブリッド量子古典アルゴリズムの実用的利点を制限する。

ABSTRACT

The task of learning a probability distribution from samples is ubiquitous across the natural sciences. The output distributions of local quantum circuits form a particularly interesting class of distributions, of key importance both to quantum advantage proposals and a variety of quantum machine learning algorithms. In this work, we provide an extensive characterization of the learnability of the output distributions of local quantum circuits. Our first result yields insight into the relationship between the efficient learnability and the efficient simulatability of these distributions. Specifically, we prove that the density modelling problem associated with Clifford circuits can be efficiently solved, while for depth $d=n^{Ω(1)}$ circuits the injection of a single $T$-gate into the circuit renders this problem hard. This result shows that efficient simulatability does not imply efficient learnability. Our second set of results provides insight into the potential and limitations of quantum generative modelling algorithms. We first show that the generative modelling problem associated with depth $d=n^{Ω(1)}$ local quantum circuits is hard for any learning algorithm, classical or quantum. As a consequence, one cannot use a quantum algorithm to gain a practical advantage for this task. We then show that, for a wide variety of the most practically relevant learning algorithms -- including hybrid-quantum classical algorithms -- even the generative modelling problem associated with depth $d=ω(\log(n))$ Clifford circuits is hard. This result places limitations on the applicability of near-term hybrid quantum-classical generative modelling algorithms.

研究の動機と目的

• 局所的量子回路の出力分布の学習可能性を、特に量子機械学習および量子優位性の文脈で厳密に分析すること。
• 深さやゲートタイプが異なる量子回路の出力分布を、効率的な古典的または量子的学習アルゴリズムが効率的にモデル化できるかどうかを特定すること。
• 現実的な量子回路アーキテクチャを想定した、ハイブリッド量子古典生成モデルの限界について未解決の問いを解消すること。
• 統計的クエリおよび生成モデルフレームワークを含む、標準的な学習モデル下での量子回路分布学習の理論的困難性を確立すること。

提案手法

• 著者らは、統計的クエリ（SQ）学習理論を用いて、未知の分布に対する統計的クエリのクエリ複雑度を分析した。
• Clifford回路で実現可能な$n$キュービット上のパリティに基づく分布$P_s$の族を構築し、その統計的クエリ複雑度が$\Omega(2^{n/3})$であることを示した。
• レムマ7による変換を適用することで、深さ$d$のクリフォード回路のクエリ複雑度を浅い回路のものと関連付け、$d = \omega(\log n)$に対しても困難性が継続することを示した。
• 一般の量子回路にTゲートを追加することで困難性を拡張し、深さ-$n^{\Omega(1)}$の回路に1つのTゲートを挿入すると、統計的クエリのみを用いるあらゆるアルゴリズムにとって出力分布が学習不能になることを証明した。
• 還元論法を用いた：もし学習アルゴリズムが分布を効率的に学習できるならば、それを用いて難しい学習問題（例えば、パリティ関数の学習）を解くことができ、既知の複雑度境界に反する。
• コロナリー15およびレムマ12を適用して、逆多項式許容誤差を持つ生成モデルに対しても困難性を拡張し、$d = \omega(\log^{c+1}(n))$の深さの回路でさえ学習が困難であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 深さ$n^{\Omega(1)}$の局所的量子回路の出力分布は、任意の統計的クエリアルゴリズムによって効率的に学習可能か？
• RQ2 量子回路に1つのTゲートが存在する場合、その出力分布は、量子アルゴリズムですら学習不能になるか？
• RQ3 ハイブリッド量子古典生成モデルは、超対数的深さの量子回路の出力分布を効果的に学習できるか？
• RQ4 量子回路の効率的シミュレータビリティは、その出力分布の効率的学習可能性を意味するか？
• RQ5 標準的な学習モデル下で、出力分布が統計的に学習不能になる最小の回路深さは何か？

主な発見

• 深さ$n^{\Omega(1)}$の$n$キュービット量子回路の出力分布は、未知の分布に対する統計的クエリのみを用いるあらゆるアルゴリズムによっては効率的に学習不可能である。
• 深さ$d = \omega(\log n)$のクリフォード回路の学習は、逆多項式許容誤差を持つ任意の統計的クエリアルゴリズムにとって困難であり、多項式を超えるクエリ数を要する。
• 深さ-$n^{\Omega(1)}$の量子回路に1つのTゲートを挿入すると、その出力分布は、古典的でも量子的でもあらゆる学習アルゴリズムにとって学習不能になる。
• 深さ$d$のクリフォード回路の統計的クエリ複雑度は、$d = \Omega(n)$のとき$\Omega(2^{n/3})$である。これは、線形深さ回路に対して指数的困難性を確立する。
• 任意の$\varepsilon, \delta < 1/2$に対して、深さ$d = \omega(\log^{c+1}(n))$の回路の出力分布を、許容誤差$\tau \in \Omega(1/\text{poly}(n))$で学習するには$\omega(\text{poly}(n))$個の統計的クエリが必要であり、多項式を超えるクエリ複雑度を証明する。
• この結果は、量子回路の効率的シミュレータビリティが、その出力分布の効率的学習可能性を意味するとは限らないことを示し、量子機械学習における一般的な仮定を反証する。