[論文レビュー] A Slow-Growing Sequence Defined by an Unusual Recurrence

Fokko J. van de Bult, Dion Gijswijt+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2006

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、各項が直前の列のカールィング数（suffixの最大繰り返し回数）として定義される再帰的整数列を導入する。この列は緩やかに増加するが、無限大に発散することが証明されており、より大きな整数は天文学的な巨大な添え字でのみ現れる。主な結果は、整数 $ t $ がおおよそ $ 2^{2^{3^{4^{\.\.\.^{(t-1)}}}}} $ の位置に初めて現れることを示すヒューリスティックな推定であり、これは高さ $ t-1 $ の累乗塔である。

ABSTRACT

The sequence starts with a(1) = 1; to extend it one writes the sequence so far as XY^k, where X and Y are strings of integers, Y is nonempty and k is as large as possible: then the next term is k. The sequence begins 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, ... A 4 appears for the first time at position 220, but a 5 does not appear until about position 10^{10^{23}}. The main result of the paper is a proof that the sequence is unbounded. We also present results from extensive numerical investigations of the sequence and of certain derived sequences, culminating with a heuristic argument that t (for t=5,6, ...) appears for the first time at about position 2^(2^(3^(4^(5^...^({(t-2)}^{(t-1)}))))), where ^ denotes exponentiation. The final section discusses generalizations.

研究の動機と目的

• 文字列の繰り返しに基づく従来の再帰とは異なる新しい整数列の研究を動機づける。
• このような列が有界のままであるか、あるいは任意の大きな整数を含むようになるかという未解決問題に取り組む。
• 極めて緩やかな増加であるにもかかわらず、列が無限大に発散することを厳密に証明する。
• 新しい整数が列の中で初めて現れる位置をヒューリスティックに推定する。
• 異なる関数、初期条件、整数列の同値関係を用いた再帰の一般化を検討する。

提案手法

• 列は再帰的に定義される：$ a(1) = 1 $ であり、$ a(n+1) $ は列 $ a(1), \ldots, a(n) $ のカールィング数である。ここでカールィング数とは、列が非空の文字列 $ Y $ を $ k $ 回繰り返す形で終わるような最大の $ k $ である。
• 導出列 $ A^{(k)} $ を用いて、列の再帰的ブロック構造を分析する。これらは列内の繰り返しパターンの構造を追跡する。
• 最初の200万項について広範な数値計算を実施し、列の増加度と構造、および導出列の性質を経験的に推定する。
• 観察された繰り返しブロックの頻度と長さに基づくヒューリスティックモデルを適用し、整数 $ t $ の初めての出現位置を推定する。
• カールィング数に関数を適用する（例：$ f(x) = \lfloor x/2 \rfloor $）ことや初期条件を変更することで再帰を一般化する。
• 文字列の同値関係（例：置換同値）や順序関係を用いた一般化を検討し、代替の再帰ルールを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返しの文字列の繰り返しに基づく再帰で定義される列の漸近的挙動は何か？
• RQ2 この列は最終的に任意の大きな整数を含むようになるか、それとも有界のままであるか？
• RQ3 整数 $ t $ が列の中で初めて現れる位置は何か、$ t \geq 5 $ の場合に限る。
• RQ4 列の再帰的ブロック構造はどのように進化するか。形式的証明は可能か？
• RQ5 部分列の同値関係や異なる再帰ルールを用いた一般化された列の性質は何か？

主な発見

• 列が無限大に発散することを証明した。つまり、任意の正の整数 $ t $ は最終的に列の項として現れる。
• 4の初めての出現は220番目の項に現れ、5の初めての出現はおおよそ $ 2^{2^{3^{4^{\cdots^{22}}}}} $ に現れ、これは高さ22の累乗塔である。
• 最初の200万項の経験的分析から、$ t $ が初めて現れる位置は高さ $ t-1 $ の累乗塔、すなわち $ 2^{2^{3^{4^{\cdots^{(t-1)}}}}} $ にほぼ等しいというヒューリスティックな推定が支持される。
• 列は再帰的ブロック構造を示し、複数のレベルにわたる繰り返しパターンが形成されており、これが緩やかな増加とより高いカールィング数の出現を生じる背景にある。
• カールィング数に関数を適用する、または置換同値を用いるなど、再帰の一般化により、同様に緩やかに増加し、無限大に発散する新しい列が得られる。
• 2次元版とグリーディ版の列が定義され、2次元版は行と列に元の列を保持するが、グリーディ版は可能な限り各ステップでカールィング数を最大化する。