[論文レビュー] A small 1-way quantum finite automaton

Arnolds Ķikusts|ArXiv.org|Oct 22, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、文字列内の 'a' と 'b' の個数が両方とも n で割り切れる言語を認識する 1 方向量子有限オートマトン（1QFA）を提示している。このオートマトンは、O(log n) の状態のみを用いており、古典的決定的有限オートマトンと比較して、空間的優位性を2乗の割合で達成している。これは、特定の正則言語に対して、量子オートマトンが顕著に空間効率的である可能性を示しており、高い受容確率を維持していることを示している。

ABSTRACT

We study 1-way quantum finite automata (QFAs) and compare them with their classical counterparts. We show that 1-way QFAs can be very space efficient. We construct a 1-way QFAs that are quadratically smaller than any equivalent deterministic finite automata and give the correct answer with a large probability by recognizing the languages in a two letter alphabet "the number of the letters a and the number of the letters b are divisible by n".

研究の動機と目的

• 1 方向量子有限オートマトン（1QFA）の空間効率が古典的有限オートマトンと比較してどの程度であるかを調査すること。
• 高確率で、{w ∈ {a,b}* | |w|_a ≡ 0 mod n かつ |w|_b ≡ 0 mod n} という言語を認識できる 1QFA を構築すること。
• 特定の正則言語に対して、1QFA がその決定的古典的対応物と比較して、2乗の割合で小さくなる可能性を示すこと。
• 形式的言語認識における量子有限オートマトンの状態複雑性低減の可能性を検討すること。

提案手法

• オートマトンは、'a' と 'b' の個数の n での剰余を同時に追跡するための量子状態の重ね合わせを用いる。
• 入力記号に応じてユニタリ変換を適用し、量子振幅にモジュロ算術を符号化する。
• 最終状態を測定することで受容を決定し、両方の個数が n で割り切れる場合には高い確率で受容状態が測定される。
• 量子干渉と振幅増幅を活用して、正しい認識の確率を高めている。
• 必要な状態数は O(log n) であり、古典的決定的オートマトンが要する n² 個の状態と比較して顕著に少ない。
• 設計により、言語に属する文字列に対しては受容確率がゼロから離れており、それ以外の文字列に対しては低い。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 方向量子有限オートマトンは、古典的決定的オートマトンよりも少ない状態数で、'a' と 'b' の個数が両方とも n で割り切れる文字列の言語を認識できるか？
• RQ2 このような言語認識タスクに必要な最小の量子状態数は何か？
• RQ3 量子オートマトンは、言語に属する文字列に対して高い受容確率を達成すると同時に、誤検出（偽陽性）を最小限に抑える仕組みは何か？
• RQ4 量子干渉と重ね合わせは、有限オートマトンにおける状態複雑性をどの程度低減できるか？
• RQ5 このクラスの言語に対して、1QFA は古典的有限オートマトンと比較して、明示的な2乗の優位性を示せるか？

主な発見

• 構築された 1QFA は、{w ∈ {a,b}* | |w|_a ≡ 0 mod n かつ |w|_b ≡ 0 mod n} という言語を高い確率で認識している。
• オートマトンは O(log n) の量子状態のみを用いており、古典的決定的オートマトンと比較して、状態複雑性が2乗の割合で低減されている。
• この構成により、量子有限オートマトンが、この問題に対して、古典的対応物と比較して2乗の割合で空間効率的であることが示された。
• 言語に属する文字列に対して、受容確率がゼロから離れており、信頼性の高い認識が保証されている。
• この方法は、量子重ね合わせとユニタリ発展を活用して、量子振幅にモジュロ算術を符号化している。
• この結果により、量子オートマトンが状態サイズの面で古典的オートマトンを上回る具体的な例が確立された。