[論文レビュー] A Small Observation on Co-categories

Peter LeFanu Lumsdaine|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の整合的圏において、すべての内部コカテゴリは必然的にコ同値関係であることを示している。これは、コ合成とコ逆写像の構造が、出発と到達写像によって一意に決定されることを意味する。主な結果として、特にトポスおよび前トポスにおいて、コカテゴリとモノモノーマルフィズムの間で圏的同値性が確立されている。

ABSTRACT

Various concerns suggest looking for internal co-categories in categories with strong logical structure. It turns out that in any coherent category, all co-categories are co-equivalence relations.

研究の動機と目的

• 強い論理的構造を持つ圏、特に整合的圏における内部コカテゴリの構造を調査すること。
• このような設定におけるコカテゴリが、同値関係を超えた非自明な振る舞いを示す可能性があるかを明らかにすること。
• 論理的圏におけるコカテゴリ、コ順序、コ群ガロアの間の関係を明確にすること。
• 整合的圏においてコカーネルペアを備えた状況で、コカテゴリとモノモノーマルフィズムの間の圏的同値性を確立すること。
• 2-圏的構造と区間対象を用いた内省的型理論のモデル化に及ぼす影響を調査すること。

提案手法

• 出発写像、到達写像、コ合成写像、コ単位写像を用いて、反対圏における内部圏として内部コカテゴリを定義する。
• 整合的圏の内部論理を用いて、出発写像と到達写像の共同被覆性を分析する。
• 整合的圏における像と和集合の引き戻しに関する安定性を適用して、コカテゴリがコ順序であることを証明する。
• コ順序において、コ逆写像が存在し、群ガロアの双対的恒等式を満たすことを示し、それによってコ同値関係となることを示す。
• コカーネルペアを用いて、モノモノーマルフィズムの圏からコ同値関係への関手を構成する。
• この関手が圏がコ正確である場合、特にトポスおよび前トポスにおいて同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整合的圏において、内部コカテゴリが満たす構造的制約は何か？
• RQ2 整合的圏におけるコカテゴリは、コ同値関係でない可能性があるだろうか、あるいは構造的に自明である必然性があるのか？
• RQ3 モノモノーマルフィズムのコカーネルペアを備えた整合的圏において、コカテゴリとモノモノーマルフィズムの関係は何か？
• RQ4 トポスにおけるコカテゴリは、内部論理および部分対象分類子とどのように関係しているか？
• RQ5 2-圏的モデルにおける内省的型理論のモデル化において、コカテゴリは区間対象の役割を果たすのか？

主な発見

• 任意の整合的圏において、すべての内部コカテゴリは必然的にコ同値関係である。
• 出発写像と到達写像が同時にエピであるとき、コカテゴリにおけるコ合成写像は、出発写像と到達写像によって一意に決定される。
• コ順序において、コ逆写像が存在し、群ガロアの双対的恒等式を満たすため、コ同値関係となる。
• モノモノーマルフィズムのコカーネルペアを備えた整合的圏において、コカテゴリの圏はモノモノーマルフィズムの圏と同値である。
• 任意のトポスにおいて、コカテゴリの圏は部分対象分類子を介して部分対象のコラックス圏と同値である。
• トポスにおける普遍的コカテゴリは、部分対象分類子への終端写像のコカーネルペアである。