[論文レビュー] A small resolution for triple covers in algebraic geometry

Daniele Faenzi, Janis Stipins|ArXiv.org|Apr 18, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、代数幾何における三重被覆に対して、特異点をファイバーが $\mathbb{P}^1$ であるように、$\mathbb{P}(E^*)$ 内に新しい多様体 $\mathfrak{S}_X$ を導入することにより、小さな解消を構成する。この解消は、$S^3(E)^* \otimes \Lambda^2(E)$ の全切断 $\sigma$ を用いて定義され、$X$ が $\mathbb{P}^1$-バンドルに埋め込まれるための必要十分条件は、ファットポイント分岐点が存在しないことである。

ABSTRACT

Given a triple cover p: X --> Y of varieties, we produce a new variety Z and a birational morphism f: Z --> X which is an isomorphism away from the fat-point ramification locus of p. The variety Z has a natural interpretation in terms of the data describing the triple cover, and the morphism f has an elegant geometric description.

研究の動機と目的

• 三重被覆 $\pi: X \to Y$ のために、ファットポイント分岐点に現れる特異点を解消する幾何的構成を与えること。
• 階数 2 の局所自由層 $E$ と $S^3(E)^* \otimes \Lambda^2(E)$ の全切断 $\sigma$ を用いて、このような解消がグローバルに存在することを示すこと。
• $X$ が $Y$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドルの部分多様体として埋め込めるための条件を、ファットポイント分岐の不在によって特徴付けること。
• より一般的な解消結果の簡略化された幾何的解釈を提供し、三重被覆設定における小さな解消の理解を深めること。

提案手法

• 三重被覆のデータから生じる $S^3(E)^* \otimes \Lambda^2(E)$ の全切断 $\sigma$ を用いて、$\mathbb{P}(E^*)$ の部分多様体 $\mathfrak{S}_X$ を定義する。
• ファットポイント分岐点集合を除いては同型であるような、$\mathfrak{S}_X \to X$ の有理的同型写像 $\rho_X$ を構成する。
• $\rho_X$ の各ファットポイント分岐点におけるファイバーが $\mathbb{P}^1$ に同型であること、したがって $\rho_X$ が小さな解消であることを示す。
• ミランダの結果（三重被覆は $E$ と $\sigma$ で分類可能）を用いて、局所的な解消をグローバル化し、アフィンチャート間の整合性を保証する。
• $\mathfrak{S}_X$ と $X$ 内のウェイリュ多様体の爆破の同型を用いて、$\rho_X$ が非カルティエ多様体に沿った爆破であると解釈する。
• 解消に関連する有理写像 $\psi$ が、ファットポイント分岐点集合でのみ不定となることを示し、解消のサポートがまさにその場所にあることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重被覆 $\pi: X \to Y$ が $Y$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドルの部分多様体として実現可能となる条件は何か？
• RQ2 特にファットポイント分岐点において、三重被覆に対して幾何的に小さな解消をどのように構成できるか？
• RQ3 $S^3(E)^* \otimes \Lambda^2(E)$ の全切断 $\sigma$ が、解消多様体 $\mathfrak{S}_X$ を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 小さな解消であるにもかかわらず、解消の例外集合が $\mathfrak{S}_X$ 内で codimension 1 より大きいのはなぜか？
• RQ5 $\rho_X$ が $X$ 内のウェイリュ多様体の爆破とどのように関係しているか？また、なぜその多様体はカルティエでないのか？

主な発見

• $\mathfrak{S}_X$ は、$S^3(E)^* \otimes \Lambda^2(E)$ の全切断 $\sigma$ に関連する立方形式によって定義される、$\mathbb{P}(E^*)$ の部分多様体である。
• 写像 $\rho_X: \mathfrak{S}_X \to X$ は小さな解消である：ファットポイント分岐点集合を除いては同型であり、その点では $\mathbb{P}^1$ ファイバーを持つ。
• $\rho_X$ は、$X$ 内のウェイリュ多様体の爆破であるが、その多様体はカルティエでないため、爆破は同型でない。
• $\rho_X$ の例外集合は $\mathfrak{S}_X$ 内で codimension 1 より大きいので、代数幾何における「小さな解消」としての性質が確認される。
• 三重被覆 $\pi: X \to Y$ が $Y$ 上の $\mathbb{P}^1$-バンドルに埋め込まれるための必要十分条件は、ファットポイント分岐が存在しないことである。そうでない場合、ファイバー内のザリスキ接空間が2次元になるためである。
• 構成に用いられる有理写像 $\psi$ は、ファットポイント分岐点集合でのみ不定となり、解消のサポートがまさにその場所にあることが確認される。