[論文レビュー] A Small Universal Petri Net

Dmitry A. Zaitsev|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2013

DNA and Biological Computing参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、NearyとWoodsの弱い普遍チューリングマシン（2状態、4記号）をシミュレートすることにより、14の場所と29の遷移を有する普遍的決定的インhibitorペトリネット（UPN）を提示する。このネットワークは、新しい空白語のシミュレーション技術と、二重タグシステムからチューリングマシンへの翻訳を用いて、標準的普遍性を達成し、任意のDIPNを指数時間かつ多項式空間でシミュレート可能である。

ABSTRACT

A universal deterministic inhibitor Petri net with 14 places, 29 transitions and 138 arcs was constructed via simulation of Neary and Woods' weakly universal Turing machine with 2 states and 4 symbols; the total time complexity is exponential in the running time of their weak machine. To simulate the blank words of the weakly universal Turing machine, a couple of dedicated transitions insert their codes when reaching edges of the working zone. To complete a chain of a given Petri net encoding to be executed by the universal Petri net, a translation of a bi-tag system into a Turing machine was constructed. The constructed Petri net is universal in the standard sense; a weaker form of universality for Petri nets was not introduced in this work.

研究の動機と目的

• より弱い形を避けるために、標準的普遍性を達成する最小の普遍的ペトリネットを構築すること。
• 弱い普遍チューリングマシンのシミュレーションを可能にする空白語のシミュレーションを組み込んだ、従来の普遍的ペトリネット研究の拡張。
• DIPNから二重タグシステムへの翻訳のギャップを埋めるために、二重タグシステムからチューリングマシンへのシミュレーションを構築すること。
• 従来の構成より13個の遷移を削減した、より小さな普遍的ペトリネットを達成すること。
• 完全なシミュレーションチェーンの確立：DIPN → 二重タグシステム → チューリングマシン → WUTM → 普遍的DIPN。

提案手法

• 決定的インヒビター・ペトリネット（DIPN）を用いて、NearyとWoodsの（2,4）弱い普遍チューリングマシンをシミュレートする。
• 作業領域の端にテープヘッドが到達した際に、空白語コード（w_l および w_r）を挿入する専用の遷移を導入する。
• 二重タグシステムをO(k²)時間およびO(k)空間でシミュレートする新しいチューリングマシンを構築する。ここでkは適用された生成規則の数である。
• 二重タグシステムからチューリングマシンへのシミュレーションを用いて、DIPNの符号化から普遍的ネットの実行に至るチェーンを完成させる。
• DIPNにおける優先順位ベースの発火ルールを適用し、遷移が番号順に発火することで決定論的動作を保証する。
• 普遍的ネットにおけるDIPNのマークイングおよび遷移動作を、整数ベクトルとアーキ・乗数を用いて符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の最小構成より少ない遷移数を有する普遍的ペトリネットを構築することは可能か？
• RQ2 決定的インヒビター・ペトリネットにおいて、弱い普遍チューリングマシンを模倣するために、空白語の挿入を効果的にシミュレートする方法は何か？
• RQ3 与えられたDIPNを、(2,4) WUTMに基づく普遍的ペトリネットでシミュレートする際の時間的・空間的計算量はどの程度か？
• RQ4 二重タグシステムは、多項式時間および多項式空間のオーバーヘッドでチューリングマシンによってシミュレート可能か？
• RQ5 弱い普遍チューリングマシンのシミュレーションを経由して、標準的普遍性を達成する最小のペトリネットのサイズは何か？

主な発見

• 構築された普遍的ペトリネットは14の場所と29の遷移を有し、前例に比べて遷移数を13個削減した。
• テープ境界での空白語の挿入をシミュレートすることで、標準的普遍性を達成しており、より弱い形ではない。
• 二重タグシステムのチューリングマシンによるシミュレーションは、kが適用された生成規則の数であるとき、O(k²)時間およびO(k)空間で実行される。
• 全体のシミュレーションチェーン（DIPN → 二重タグシステム → チューリングマシン → WUTM → 普遍的DIPN）は、指数時間O(z·5^z)および多項式空間O(z)の計算量を示し、ここでz = k²⁴·log¹²kである。
• WUTMおよび二重タグシステムのシミュレーションのため、普遍的ネットの時間計算量は、対象DIPNのステップ数に関して指数的である。
• 優先順位ベースの発火ルールにより、発火可能な遷移の中で最小のインデックスを持つものから順に発火させることで、決定論的かつ予測可能な動作を保証している。