[論文レビュー] A smooth regularity theorem for nondegenerate CR-mappings

Bernhard Lamel|ArXiv.org|Dec 3, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素空間内の滑らかな一般型部分多様体間の非退化CR写像について、滑らかさの定理を確立する。もし、このような部分多様体間の $C^{k_0}$-CR写像が $k_0$-非退化であり、かつ源多様体が最小的であるならば、その点の近傍で写像は滑らかになる。この結果は、楔領域への正則拡張およびほぼ正則ベクトル場と陰関数定理の使用により、境界から内部へ滑らかさを伝搬させることによって得られる。

ABSTRACT

We prove the following regularity result: If M and M' are smooth generic submanifolds of C^N and C^N' respectively, where N and N' are not necessarily equal, and if M is minimal, then every C^k-CR-map from M into M^\prime which is k-nondegenerate is smooth. As an application, every CR diffeomorphism of k-nondegenerate minimal submanifolds in C^N of class C^k is smooth.

研究の動機と目的

• 滑らかな一般型部分多様体 $\mathbb{C}^N$ と $\mathbb{C}^{N'}$ 間のCR写像について、$C^∞$-正則性定理を確立すること。
• 最小的部分多様体からの $k_0$-非退化 $C^{k_0}$-CR写像が滑らかであることを示し、正則拡張に関する既存の結果を拡張すること。
• [9]の主要結果の滑らか版を、楔領域への拡張とほぼ正則ベクトル場を用いて提供すること。
• 既知の超曲面の場合の正則性結果（例えば、Levi-非退化の場合）を、より高い余次元および最小的多様体へ一般化すること。

提案手法

• 定義関数の複素勾配が反復CRベクトル場によって生成する空間のスパンを用いて、$k_0$-非退化性を定義する。
• Tumanovの定理を用いて、最小的多様体上での連続CR関数を、多様体 $M$ をエッジとする楔領域内で正則関数に拡張する。
• CRベクトル場およびその係数のほぼ正則拡張を、複素領域に構成する。
• 陰関数定理を適用し、写像の成分を写像のジェットデータおよびその複素共役の関数として解く。
• 拡張された写像が重み付き $L^2$-型の推定式を満たすことを示し、$\mathfrak{A}$-関数の理論により滑らかさを示す。
• 写像が反射領域上で $\mathfrak{A}_{\infty}(\Omega_{-})$ に属することを証明し、$\mathfrak{A}_{\infty}(\Omega_{+})$ と組み合わせて滑らかさを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型部分多様体間の $C^{k_0}$-CR写像が、どのような条件下で滑らかに拡張可能か？
• RQ2 $k_0$-非退化性と最小的性が、余次元が高くなる場合でもCR写像の滑らかさを保証するか？
• RQ3 CR写像の楔領域への拡張は、境界写像の正則性とどのように関係するか？
• RQ4 非退化性条件は、境界から内部への滑らかさの伝搬において、どのように機能するか？
• RQ5 $k_0$-非退化CR微分同相写像が最小的多様体上で滑らかであることが保証されるか？

主な発見

• 点 $p_0$ で $k_0$-非退化であり、多様体 $M$ をエッジとする楔領域へ連続に拡張可能な $C^{k_0}$-CR写像 $H: M \to M'$ は、$p_0$ の近傍で滑らかである。
• 点 $p_0$ で $M$ が最小的であるならば、$C^{k_0}$-CR写像 $H: M \to M'$ が $p_0$ で $k_0$-非退化であれば、$p_0$ の近傍で滑らかである。
• この結果は、超曲面の場合における $1$-非退化写像の既知の滑らかさを一般化しており、Levi-非退化の場合も含む。
• 証明は、写像のジェットを含む方程式系に対する解 $\phi_j$ を構成することに依拠し、写像を反射領域に拡張し、滑らかさを示す。
• 写像成分 $h_j$ は $\mathfrak{A}_{\infty}(\Omega_{+})$ および $\mathfrak{A}_{\infty}(\Omega_{-})$ に属し、共同正則性定理により滑らかさが導かれる。
• 主な技術的ステップは、陰関数 $\phi_j$ の微分が $O(|t|^\infty)$ であることを示すことであり、これにより写像のすべての微分が有界かつ滑らかになる。