[論文レビュー] A sneak preview of proof theory of ordinals

Toshiyasu Arai|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、順序数理論の証明理論的基礎を提示し、第二順序算術の部分体系を再帰的に大きな順序数へ埋め込み、それらの証明理論的強さを分析することを目的としている。この研究では、順序数図と無限大証明系を用いてゲンツェン＝タケウチの手法を拡張し、ATR₀の証明理論的順序数がΓ₀であるという主要な結果を確立するとともに、反復的帰納的定義とコロージング関数および適切な集合との関係を明らかにした。

ABSTRACT

This talk is a sneak preview of the project, 'proof theory for theories of ordinals'. Background, aims, survey and furture works on the project are given. Subsystems of second order arithmetic are embedded in recursively large ordinals and then the latter are analysed. We scarcely touch upon proof theoretical matters.

研究の動機と目的

• 古典的ゲンツェン＝タケウチの手法を拡張し、順序数理論の体系的証明理論的分析の基盤を築くこと。
• 第二順序算術の部分体系を再帰的に大きな順序数へ埋め込み、それらの証明理論的強さを分析すること。
• 無限大証明系を用いて証明理論的順序数と反復的帰納的定義との関係を調査すること。
• 構成的階層における集合論的性質と証明理論的反映原理との間の同値条件を確立すること。
• コロージング関数と適切な集合が、最初の再帰的到達不能順序数未満の証明理論的順序数を特徴付ける役割を果たすことを明確にすること。

提案手法

• 証明理論的順序数 |T|_Π¹₁ を、T が型 α の再帰的整列順序が整列的であることを示せるような α < ω₁^CK の順序数の上限として定義する。
• 証明から還元手順を抽象化することで順序数図（o.d.s）を構成し、各コンストラクタが証明における推論規則に対応するようにする。
• 証明上の還元関係 r を用いて、順序数図に整列順序 < を定義し、すべての n に対して o(r(P,n)) < o(P) が成り立つようにする。
• ω則を用いた無限大証明系を適用し、ATR₀ などの予言的理論の証明理論的強さを Γ₀ と関連付ける。
• コロージング関数 F: X → L_πσ を用いて適切な集合の性質を反映させ、構成的階層のレベル間の埋め込みを構成する。
• Δ₁-定義可能な写像とモストウスキのコロージング関数を用いて、L_σ 及びその部分集合の構造を分析し、特に基数とプロジェクタとの関係を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ATR₀ の証明理論的順序数は何か？ また、二変数フェルミン関数とバッハマン＝ハワード順序数とはどのように関係しているか？
• RQ2 第二順序算術の部分体系はどのように再帰的に大きな順序数へ埋め込まれるのか？ また、順序数図はこのプロセスにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 P(α) ∩ L_σ ⊆ L_κ が成り立つための条件は何か？ これは L_σ 内での κ の濃度とどのように関係するか？
• RQ4 コロージング関数と適切な集合は、反復的帰納的定義を含む理論の証明理論的分析においてどのように寄与するか？
• RQ5 P(γ) ∩ L_σ が L_σ の元であるための条件は何か？ これは L_σ 内の基数の存在とどのように関係するか？

主な発見

• ATR₀ の証明理論的順序数は Γ₀ である。これは二変数フェルミン関数 φ に関して閉じた最小の順序数であり、予言的解析の文脈におけるその強さを裏付ける。
• Π¹₁-CA₀ の証明理論的順序数は ψ_Ω(Ω_ω) であり、Π¹₁-CA₀ + BI のそれは ψ_Ω(ε_{Ω_ω + 1}) である。これはバーバー帰納法が証明理論的強さに与える影響を示している。
• 任意の α ∈ [ω, κ) に対して、α < π ≤ πκ < πσ < κ かつすべての Σ₁ 文 φ に対して L_σ ⊨ φ[κ,a] → L_πσ ⊨ φ[πκ,a] を満たす π, πκ, πσ が存在することは、P(α) ∩ L_σ ⊆ L_κ と同値である。
• P(γ) ∩ L_σ ∈ L_σ であるという条件は、L_σ 内に γ より大きい基数 κ が存在することと同値であり、集合論的閉包と証明理論的反映原理を結びつける。
• L_σ ⊨ card(α) < card(κ) が α < κ < σ に対して成り立つならば、L_σ 内に f: α → κ となる全射 f は存在しない。これは κ が L_σ 内で基数であることを示すために用いられる。
• コロージング関数 F: X → L_πσ は Δ₁-定義可能であり、X の推移的部分集合 Y に対して F|Y = id|Y を満たす。これにより、X が L_σ の Δ₁-部分集合であるとき πσ < κ が保証される。