[論文レビュー] A solution to a problem of Cassels and Diophantine properties of cubic numbers

Uri Shapira|ArXiv.org|Oct 23, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Casselsが提起した長年の問題を解決し、ほとんどすべての実数の対が、非均一な均一バージョンのLittlewoodの予想を満たすことを証明している。さらに、完全に実数の三次体を生成する対も、この性質を満たすことを示している。主な結果は、特定の格子の非均一最小値がゼロであることを示しており、これは対角作用の下での稠密な軌道閉包を意味し、ディオファントス近似および均一動力学への応用を持つ。

ABSTRACT

We prove that almost any pair of real numbers a,b, satisfies the following inhomogeneous uniform version of Littlewood's conjecture: (*) forall x,y in R, liminf_{|n| o\infty} |n| = 0, where denotes the distance from the nearest integer. The existence of even a single pair that satisfies (*), solves a problem of Cassels from the 50's. We then prove that if 1,a,b span a totally real number field, then a,b, satisfy (*). It is further shown that if 1,a,b, are linearly dependent over Q, a,b cannot satisfy (*). The results are then applied to give examples of irregular orbit closures of the diagonal groups of a new type.

研究の動機と目的

• 次元 $d \geq 3$ におけるユニモジュラー格子のスペクトルの下限がゼロであるかどうか、Casselsの問題を解決すること。
• ほとんどすべての対 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ に対して、Littlewoodの予想の均一非均一版を確立すること。既知の結果を拡張すること。
• 有理数体上での $1, \alpha, \beta$ の線形従属性がある場合、非均一条件を満たさない場合の特徴づけをすること。
• 完全に実数の三次体から得られる特定の代数的対が、非均一条件を満たすことを示し、CasselsとSwinnerton-Dyerの結果を一般化すること。
• 高ランク作用における剛性を用いて、均一空間における対角群の不規則な軌道閉包の新しい例を構成すること。

提案手法

• 均一空間上の高ランク可換群作用の剛性結果を用いて、格子軌道の挙動を分析する。
• 格子 $x \in X_d$ の非均一最小値 $\mu(x)$ を、積ノルム $N(w) = \prod w_i$ の下での原点への接近度を測る指標として用いる。
• ディオファントス的条件を、$n \in \mathbb{Z}$ における $|n| \langle n\alpha - \gamma \rangle \langle n\beta - \delta \rangle$ の下限に関する記述に翻訳し、ほとんどすべての $\alpha, \beta$ に対してそれがゼロに収束することを示す。
• グリッド（格子の平行移動）とそれらの元となる格子を関係付ける写像 $\pi: Y_d \to X_d$ を用い、積集合 $P(y)$ 及びその下限 $N(y)$ を分析する。
• 次元 2 における非均一最小値の下界に関するDavenportの結果を用いて、$\dim_{\mathbb{Q}} \operatorname{span}\{1, v_1, \dots, v_{d-1}\} \leq 2$ の場合に反例を構成し、$\mu(x_v) > 0$ を示す。
• 特に $x_0 \in \overline{Ax}$ に対して $\mu(x_0) \geq \mu(x)$ が成り立つことから、$\mu(x) > 0$ のとき稠密な軌道が存在しないことを排除し、$X_3$ における軌道閉包に関する予想の反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $d \geq 3$ のとき、ほとんどすべての格子 $x \in X_d$ に対して非均一最小値 $\mu(x)$ はゼロになるか？
• RQ2 ほとんどすべての $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ に対して、非均一均一版のLittlewoodの予想が満たされるか。すなわち、すべての $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ に対して $\liminf_{|n| \to \infty} |n| \langle n\alpha - \gamma \rangle \langle n\beta - \delta \rangle = 0$ が成り立つか？
• RQ3 もし $1, \alpha, \beta$ が完全に実数の三次体の基底をなすならば、$\alpha, \beta$ は非均一条件を満たすか。特に $\gamma, \delta \neq 0$ の場合でも成立するか？
• RQ4 有理数体上での $1, \alpha, \beta$ の線形従属性がある場合、非均一条件が失敗する代数的条件は何か。特に、$1, \alpha, \beta$ が $\mathbb{Q}$ 上で線形従属のとき。
• RQ5 対角群の軌道閉包について、$X_3$ において、その軌道が稠密、閉、または中間の $\mathbb{Q}$-定義部分群の閉軌道に含まれるという予想に反する例を構成できるか？

主な発見

• 次元 $d \geq 3$ に対して、ほとんどすべての格子 $x \in X_d$ に対して $\mu(x) = 0$ が成り立つ。これはCasselsのスペクトルがゼロであるという問題を肯定的に解決する。
• ほとんどすべての $v \in \mathbb{R}^{d-1}$ に対して、ユニポテンツ行列を用いて定義される格子 $x_v$ および $z_v$ に対して $\mu(x_v) = \mu(z_v) = 0$ が成り立ち、非均一条件が成立することを示す。
• もし $1, \alpha, \beta$ が完全に実数の三次体の基底をなすならば、$\alpha, \beta$ は非均一均一Littlewood条件を満たす。すなわち、すべての $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ に対して $\liminf_{|n| \to \infty} |n| \langle n\alpha - \gamma \rangle \langle n\beta - \delta \rangle = 0$ が成り立つ。
• もし $\dim_{\mathbb{Q}} \operatorname{span}\{1, v_1, \dots, v_{d-1}\} \leq 2$ ならば、$\mu(x_v) > 0$ かつ $\mu(z_v) > 0$ であり、代数的依存対では条件が成立しないことを示す。
• ある $t \in \mathbb{R}$ が存在し、格子 $x_t \in X_3$ は、対角軌道閉包が稠密、閉、または中間の $\mathbb{Q}$-定義部分群の閉軌道に含まれるという予想に反する。
• 軌道 $Ax_t$ は稠密でも閉でもなく、中間の $\mathbb{Q}$-定義部分群の閉軌道にも含まれない。これは、不規則な軌道閉包の新しいタイプを提供する。