[論文レビュー] A solution to Erdős and Hajnal's odd cycle problem

Hong Liu, Richard Montgomery|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は extremal graph theory における2つの長年の問題を解決する。まず、彩色数 $k$ のグラフが、その奇サイクル長の逆数の和が少なくとも $(1/2 - o_k(1))\log k$ に達することを証明し、次に、高い平均次数が連続する長さの偶サイクルの長さを長区間にわたって強制することを示した。主な革新点は、高連結な部分グラフ内で長さを制御できるパスの構築にあり、偶奇の性質とパス長の議論により、サイクル長を精密に制御でき、結果として漸近的に最適な境界が得られた。

ABSTRACT

In 1981, Erdős and Hajnal asked whether the sum of the reciprocals of the odd cycle lengths in a graph with infinite chromatic number is necessarily infinite. Let $\mathcal{C}(G)$ be the set of cycle lengths in a graph $G$ and let $\mathcal{C}_ ext{odd}(G)$ be the set of odd numbers in $\mathcal{C}(G)$. We prove that, if $G$ has chromatic number $k$, then $\sum_{\ell\in \mathcal{C}_ ext{odd}(G)}1/\ell\geq (1/2-o_k(1))\log k$. This solves Erdős and Hajnal's odd cycle problem, and, furthermore, this bound is asymptotically optimal. In 1984, Erdős asked whether there is some $d$ such that each graph with chromatic number at least $d$ (or perhaps even only average degree at least $d$) has a cycle whose length is a power of 2. We show that an average degree condition is sufficient for this problem, solving it with methods that apply to a wide range of sequences in addition to the powers of 2. Finally, we use our methods to show that, for every $k$, there is some $d$ so that every graph with average degree at least $d$ has a subdivision of the complete graph $K_k$ in which each edge is subdivided the same number of times. This confirms a conjecture of Thomassen from 1984.

研究の動機と目的

• 1981 年に Erdős と Hajnal が提起した、無限彩色数のグラフにおける奇サイクル長の逆数の和に関する予想を解決すること。
• 1984 年に Erdős が提起した、高平均次数が 2 のべきである長さのサイクルを強制するかどうかを特定すること。
• 1984 年に Thomassen が提起した予想、すなわち高平均次数が、すべての辺が同じ回数だけ分割された $K_k$ の分割を含むことを確認すること。
• 高平均次数のグラフにおいて、密度がゼロであるがゆえに避けがたいサイクル長の集合を強制する一般的手法を開発すること。

提案手法

• 高連結な部分グラフ内のパスの組み合わせにより、高平均次数のグラフで連続する偶サイクル長の長い区間を構築する。
• 偶奇の性質と部分グラフの和における最短パスによるパス長の制御を用いて、奇サイクルを生成する。
• 反復的パス拡張技術を適用してサイクル長を変化させつつ奇数の偶奇性を維持し、高密度なサイクル長集合を実現する。
• 部分グラフの直径の境界と最短パスの性質を活用して、構築されたサイクルの長さを制御する。
• サイクル長の多様性を保証するため、頂点集合とパスを3つの部分グラフに分割するスキームを導入する。
• 再帰的パス構築と偶奇制約を用いて、奇サイクル長の逆数の和の下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの彩色数が $k$ である場合、その奇サイクル長の逆数の和は $k$ に関して対数的に増大するか？
• RQ2 任意の $d$ が存在して、平均次数が $d$ 以上のすべてのグラフが 2 のべきである長さのサイクルを含むか？
• RQ3 高平均次数が、すべての辺が同じ回数だけ分割された $K_k$ の分割の存在を保証できるか？
• RQ4 高平均次数のグラフにおいて避けがたい、明示的かつ密度ゼロの整数列は存在するか？
• RQ5 高彩色数のグラフにおけるサイクル長の逆数の和は、$k$ の関数として下から抑えられるか？

主な発見

• 彩色数 $k$ のグラフにおける奇サイクル長の逆数の和は、少なくとも $(1/2 - o_k(1))\log k$ に達する。これは漸近的に最適である。
• 任意の平均次数 $d$ のグラフに対して、$\ell \geq d/(10\log^{12}d)$ であるとき、区間 $[\log^8 \ell, \ell]$ のすべての偶数整数がサイクル長として存在する。
• 十分に高い平均次数のグラフは、長区間におけるすべての偶サイクル長を含む。これは、サイクル長の密度に関する長年の未解決問題を解決した。
• 2 のべきである長さのサイクルは、高平均次数の下で避けがたくなり、1984 年の Erdős の予想を確認した。
• 任意の $k$ に対して、$d$ が存在し、平均次数が $d$ 以上のすべてのグラフが、すべての辺が同じ回数だけ分割された $K_k$ の分割を含む。これは Thomassen の 1984 年の予想を確認した。
• この手法は他の列にも一般化可能であり、任意の指数的に有界な増加列である偶数整数列は、高平均次数の下で避けがたくなる。