[論文レビュー] A solution to Lov\'asz's Seventeenth problem

Hamed Hatami, Serguei Norine|arXiv (Cornell University)|May 13, 2010

Graph theory and applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、実多変数多項式への還元を用いて、すべての正の量子グラフ（つまり、グラフ同型写像密度の間の不等式）が二乗和として表現できるとは限らないことを示すことにより、ロヴァーシュの17番目の問題を解決した。また、このような不等式の検証の決定不能性を証明し、ヒルベルトの17番目の問題に対するアルティンの解法の量子グラフ設定における類似は成り立たないことを示した。

ABSTRACT

The purpose of this article is to show that even the most elementary problems in asymptotic extremal graph theory can be highly non-trivial. We study linear inequalities between graph homomorphism densities. In the language of quantum graphs the validity of such an inequality is equivalent to the positivity of a corresponding quantum graph. Similar to the setting of polynomials, a quantum graph that can be represented as a sum of squares of labeled quantum graphs is necessarily positive. Lovasz asks whether the opposite is also true. We answer this question and also a related question of Razborov in the negative by introducing explicit valid inequalities that do not satisfy the required conditions. Our solution to these problems is based on a reduction from real multivariate polynomials and uses the fact that there are positive polynomials that cannot be expressed as sums of squares of polynomials. It is known that the problem of determining whether a multivariate polynomial is positive is decidable. Hence it is very natural to ask Is the problem of determining the validity of a linear inequality between homomorphism densities decidable? We give a negative answer to this question which shows that such inequalities are inherently difficult in their full generality. Furthermore we deduce from this fact that the analogue of Artin's solution to Hilbert's seventeenth problem does not hold in the setting of quantum graphs.

研究の動機と目的

• すべての正の量子グラフが二乗和として表現可能かどうかを検討すること。
• グラフ同型写像密度間の線形不等式の検証の決定可能性を調査すること。
• ヒルベルトの17番目の問題に対するアルティンの解法の類似が、量子グラフの文脈で成り立つかどうかを特定すること。
• ロヴァーシュおよびラズボロフの、正の量子グラフの表現に関する関連する質問に対して、否定的な答えを提供すること。

提案手法

• 既知の結果（正の多項式が二乗和として表現できないものがあること）を活用し、実多変数多項式から量子グラフへの還元。
• すべての正の量子グラフが二乗和であるという仮説の反例を明示的に構成すること。
• 正の多項式が二乗和として表現できないこと（実代数幾何学における既知の結果）を活用すること。
• 量子グラフの正性と非負の多変数多項式との間の対応関係を確立すること。
• グラフ同型写像密度間の線形不等式が正当であるかどうかを決定する問題が、決定不能であることを示すこと。
• 論理的および代数的技法を用いて、このような不等式の一般的アルゴリズム的解法が不可能であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての正の量子グラフは、ラベル付き量子グラフの二乗和として表現可能か？
• RQ2 グラフ同型写像密度間の線形不等式の正当性を判定する問題は決定可能か？
• RQ3 ヒルベルトの17番目の問題に対するアルティンの解法の類似は、量子グラフの文脈で成り立つか？
• RQ4 二乗和として表現できない、有効なグラフ同型写像密度間の不等式は存在するか？
• RQ5 漸近的極値グラフ理論における不等式の検証の論理的複雑度は何か？

主な発見

• すべての正の量子グラフがラベル付き量子グラフの二乗和として表現できるとは限らない。これは、ロヴァーシュの17番目の問題に対する否定的解答を示している。
• 二乗和条件を満たさない、明示的な有効なグラフ同型写像密度間の不等式が存在する。
• グラフ同型写像密度間の線形不等式が正当であるかどうかを決定する問題は、決定不能である。
• ヒルベルトの17番目の問題に対するアルティンの解法の類似は、量子グラフの文脈では成り立たない。
• 決定不能性の結果は、多変数多項式が非負であるかどうかを判定する問題への還元によって生じる。