[論文レビュー] A solution to the L space problem and related ZFC constructions

Justin Tatch Moore|CERN Document Server (European Organization for Nuclear Research)|Jan 28, 2005

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 29

ひとこと要約

この論文はZFCにおいて非可分なヘレディタリリー・リンデルーフ空間（L空間）を構成し、長年の問題を解決する。一貫した有限対一関数の列を用いて、強い組合せ的性質を持つ関数 $ f:[\omega_1]^2 \to \omega_1 $ の存在を証明し、$ \aleph_1 $ の濃度の非可算な正規ハウスドルフ空間に対して基底が存在しないことを示し、集合論的位相幾何学における主要な予想を反証する。

ABSTRACT

In this paper I will construct a non-separable hereditarily Lindelof space (L space) without any additional axiomatic assumptions. I will also show that there is a function f from [omega_1]^2 to omega_1 such that if A,B, subsets of omega_1, are uncountable and x omega_1, then there are a < b in A and B respectively with f(a,b) = x. Previously it was unknown whether such a function existed even if omega_1 was replaced by 2. Finally, I will prove that there is no basis for the uncountable regular Hausdorff spaces of cardinality aleph_1. Each of these results gives a strong refutation of a well known and longstanding conjecture. The results all stem from the analysis of oscillations of coherent sequences {e_i : i < omega_1} of finite-to-one functions. I expect that the methods presented will have other applications as well.

研究の動機と目的

• ZFCにおいて非可分なヘレディタリリー・リンデルーフ空間（L空間）が存在し得ないという長年の予想を解決すること。
• 任意の非可算な $ A,B \subseteq \omega_1 $ および $ \xi < \omega_1 $ に対して、$ A \times B $ の中で $ \alpha < \beta $ が存在し $ f(\alpha,\beta) = \xi $ となるような関数 $ f:[\omega_1]^2 \to \omega_1 $ を構成することにより、負の分割関係に関する問いに答えること。
• $ \aleph_1 $ の濃度の非可算な正規ハウスドルフ空間のクラスに対して基底が存在しないことを証明し、位相幾何学における広く知られた予想を反証すること。

提案手法

• 有限対一関数の列 $ \langle e_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle $ の振動を分析し、L空間を構成する。
• ツェキ順序と木構造の性質を用いて、ある種の導出木がアロンサイン木であることを示し、したがって非可算な分岐や非可算な反鎖を含まないことを示す。
• 強制法の議論とc.c.c.不変性を用いて、位相 $ \tau[X] $ の非可算部分空間が第一可算でないことを示す。
• $ \tau[X]^2 $ における閉開近傍を構成し、非可算な離散的部分空間を分離することで、空間が第一可算でないことを証明する。
• ヘレディタリリー・リンデルーフ性を用いて、$ \tau[X] $ 上の連続実数値関数はすべて可算な値域を持つことを示す。
• サイズ $ \aleph_2 $ のほとんど互いに素な族の存在を活用し、基底のサイズが少なくとも $ \aleph_2 $ 以上でなければならないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFCにおいて非可分なヘレディタリリー・リンデルーフ空間（L空間）が存在するか。これはL空間問題を解決する。
• RQ2 任意の非可算な $ A,B \subseteq \omega_1 $ および $ \xi < \omega_1 $ に対して、$ A \times B $ の中で $ \alpha < \beta $ が存在し $ f(\alpha,\beta) = \xi $ となるような関数 $ f:[\omega_1]^2 \to \omega_1 $ を構成できるか。
• RQ3 サイズ $ \aleph_1 $ の非可算な正規ハウスドルフ空間のクラスに対して基底が存在するか。もしあるならば、その最小濃度は何か。
• RQ4 $ X \subseteq \omega_1 $ に対する位相 $ \tau[X] $ を用いて、第一可算性の欠如や非可算な離散的部分空間を有する強い位相的性質を持つ空間を構成できるか。
• RQ5 ZFCの構成において、有限対一関数の一貫した列とアロンサイン木の存在との関係は何か。

主な発見

• ZFCにおいて非可分なヘレディタリリー・リンデルーフ空間（L空間）が構成され、追加の公理なしにL空間問題が解決された。
• 任意の非可算な $ A,B \subseteq \omega_1 $ および $ \xi < \omega_1 $ に対して、$ A \times B $ の中で $ \alpha < \beta $ が存在し $ f(\alpha,\beta) = \xi $ となるような関数 $ f:[\omega_1]^2 \to \omega_1 $ が構成され、$ \omega_1 $ を 2 に置き換えた場合でもそのような関数の存在が証明された。
• $ X \subseteq \omega_1 $ に対する位相 $ \tau[X] $ は $ \tau[X]^2 $ に非可算な離散的部分空間を含まないが、適切な $ X $ に対して $ \tau[X]^2 $ には非可算な離散的部分空間が存在し、強力な組合せ的構造が示された。
• $ \tau[X] $ の任意の非可算部分空間は第一可算ではなく、$ \tau[X] $ 上の連続実数値関数はすべて可算な値域を持つ。これは強い位相的制約を示している。
• サイズ $ \aleph_1 $ の非可算な正規ハウスドルフ空間のクラスに対して基底は存在せず、任意のこのような基底の濃度は少なくとも $ \aleph_2 $ 以上でなければならない。これは長年の予想を反証する。
• L空間と関数 $ f $ の構成は、有限対一関数の一貫した列とその振動性に依存しており、導出木 $ T(o) $ がアロンサイン木であることが証明の鍵となっている。