[論文レビュー] A solution to the market making problem

Olivier Guéant, Charles‐Albert Lehalle+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Financial Markets and Investment Strategies参考文献 19被引用数 2

ひとこと要約

この論文は在庫制約のもとでの確率的制御問題として市場メイキング問題を定式化し、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を線形常微分方程式系に変換する。主な貢献は、価格リスクと在庫リスクを考慮した最適BidおよびAsk価格の閉形式近似であり、漸近的解析により長期的な価格行動が明らかになる。

ABSTRACT

Market makers continuously set bid and ask quotes for the stocks they have under consideration. Hence they face a complex optimization prob- lem in which their return, based on the bid-ask spread they quote and the fre- quency at which they indeed provide liquidity, is challenged by the price risk they bear due to their inventory. In this paper, we consider a stochastic con- trol problem similar to the one introduced by Ho and Stoll (17) and formalized mathematically by Avellaneda and Stoikov (3). The market is modeled using a reference price St following a Brownian motion with standard deviation σ, arrival rates of buy or sell liquidity-consuming orders depend on the distance to the reference price St and a market maker maximizes the expected utility of its P&L over a finite time horizon. We show that the Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated to the stochastic optimal control problem can be trans- formed into a system of linear ordinary differential equations and we solve the market making problem under inventory constraints. We also shed light on the asymptotic behavior of the optimal quotes and propose closed-form approxi-

研究の動機と目的

• スプレッド利益と在庫リスクのバランスを取る市場メイカーが直面する複雑な最適化課題に対処すること。
• 確率的価格変動を伴う有限時間枠での市場メイカーの動的意思決定をモデル化すること。
• 現実のリスク管理を反映する在庫制約を最適価格提示戦略に組み込むこと。
• 漸近的解析を用いて最適価格の閉形式近似を導出すること。
• 市場メイキングにおける確率的最適制御問題に対して数学的に取り扱いやすい解法を提供すること。

提案手法

• 価格変動を表す基準価格をボルテージティσを有する Browmian motion としてモデル化し、市場メイキング問題を確率的最適制御問題として定式化する。
• 流動性注文の到着を、提示価格と基準価格の差に依存するレートを持つポアソン過程としてモデル化する。
• 市場メイカーの最適制御方針を支配するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を導出する。
• 数学的再定式化により非線形HJB方程式を線形常微分方程式系に変換する。
• 在庫制約のもとでこの方程式系を解き、最適BidおよびAsk価格を特定する。
• 漸近的解析を実施し、最適価格の長期的行動を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 在庫制約のもとで市場メイキング問題を確率的制御問題としてどのように定式化できるか？
• RQ2 この定式化のもとで最適BidおよびAsk価格の解析的構造はどのようなものか？
• RQ3 最適価格は長期的にどのように振る舞うか、特に満期までの時間が延長される場合にどうなるか？
• RQ4 HJB方程式を解ける線形ODEの系に変換できるか？
• RQ5 漸近的条件下で最適価格の閉形式近似をどのように導出できるか？

主な発見

• 市場メイキング問題のハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式は、解析的取り扱いを可能にするために線形常微分方程式系に変換された。
• 在庫制約のもとで最適BidおよびAsk価格が導出され、スプレッド利益と価格リスクへの露出のバランスが反映されている。
• 解法は最適価格の閉形式近似を提供しており、実装の容易さを実現している。
• 漸近的解析により、時間枠が延長するにつれて最適価格が安定したスプレッド構造に収束することが明らかになった。
• モデルは在庫水準、価格変動、注文フローの動的相互作用を捉えており、リスクを考慮した提示価格戦略の強固なフレームワークを提供する。