[論文レビュー] A Sound and Complete Substitution Algorithm for Multimode Type Theory

Joris Ceulemans, Andreas Nuyts+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

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ひとこと要約

この論文は、Multimode Type Theory (MMTT) のための健全かつ完全な置換アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、WSMTT と呼ばれる変種として形式化されている。論文では、式と置換のための完全な型付けおよび同値性規則を定義し、SFMTT から WSMTT への埋め込み翻訳の正当性を証明するとともに、この翻訳の下で置換が保存されることを確立している。これにより、マルチモード型システムにおける型安全性と意味的整合性が保証される。

ABSTRACT

Multimode Type Theory (MTT) is a generic type theory that can be instantiated with an arbitrary mode theory to model features like parametricity, cohesion and guarded recursion. However, the presence of modalities in MTT significantly complicates the substitution calculus of this system. Moreover, MTT’s syntax has explicit substitutions with an axiomatic system - not an algorithm - governing the connection between an explicitly substituted term and the resulting term in which variables have actually been replaced. So far, the only results on eliminating explicit substitutions in MTT rely on normalisation by evaluation and hence also immediately normalise a term. In this paper, we present a substitution algorithm for MTT that is completely separated from normalisation. To this end, we introduce Substitution-Free Multimode Type Theory (SFMTT): a formulation of MTT without explicit substitutions, but for which we are able to give a structurally recursive substitution algorithm, suitable for implementation in a total programming language or proof assistant. On the usual formulation of MTT, we consider σ-equality, the congruence generated solely by equality rules for explicit substitutions. There is a trivial embedding from SFMTT to MTT, and a converse translation that eliminates the explicit substitutions. We prove soundness and completeness of our algorithm with respect to σ-equivalence and thus establish that MTT with σ-equality has computable σ-normal forms, given by the terms of SFMTT.

研究の動機と目的

• Multimode Type Theory (MMTT) に対して、健全かつ完全な置換アルゴリズムを設計し、型安全性と意味的整合性を保証すること。
• WSMTT と呼ばれる、式および置換コンストラクタを含む完全なルールを備えた、MTT のwell-scopedな変種を形式化すること。ここには、ブール値、依存関数型、およびモダリティ型が含まれる。
• 式および置換のための σ 同値性を定義し、反射性、対称性、推移性、およびファンクター性を確立すること。
• SFMTT の式および置換を WSMTT に埋め込む際、置換が保存されることを証明し、意味的整合性を保証すること。
• SFMTT から WSMTT への翻訳が置換および同値性を尊重することを形式的に検証し、マルチモード環境下での正しい型チェックを可能にすること。

提案手法

• ブール値、依存関数型、モダリティ型を含む、式および置換コンストラクタの完全なセットを備えた WSMTT を定義する。
• σ 同値性を、式および置換の構造的同値関係として導入し、反射性、対称性、推移性、および同値性のための規則を設ける。
• SFMTT から WSMTT への翻訳関数 J_K と、WSMTT から SFMTT への埋め込み関数 embed(_) を定義し、型レベルの対応関係を保証する。
• 主要な補題（例：補題31, 33）および命題34 を用いて、埋め込みが置換を保存することを証明し、embed(t[σ]) ≡σ embed(t)[embed(σ)] を示す。
• 構造的帰納法を用いて健全性を確立し、任意の t および σ に対して embed(JtK) ≡σ t および embed(JσK) ≡σ σ が成り立つことを証明する。
• ラップ操作（例：σ+ := (σ ◦ π).v0）および圏論的原則（例：結合則、単位則）を用いて、置換の合成および同値性に関する推論を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 WSMTT における置換アルゴリズムは、基礎となる型理論に関して健全かつ完全であるか？
• RQ2 SFMTT の式および置換を WSMTT に埋め込む際、置換同値性が保存されるか？
• RQ3 式および置換のための σ 同値性規則は、置換が適切に動作し、型安全に保たれることを十分に保証できるか？
• RQ4 SFMTT から WSMTT への翻訳は、構造的帰納法および埋め込み保存性を用いて正当に証明できるか？
• RQ5 モダリティ型コンストラクタ（例：⟨µ|A⟩, modµ(t)）は、マルチモード環境下で置換および同値性とどのように作用するか？

主な発見

• WSMTT における置換アルゴリズムは健全であることが証明された：任意の WSMTT 式 t に対して、σ 同値性のもとで embed(JtK) ≡σ t が成り立つ。
• 置換アルゴリズムは完全である：任意の WSMTT 置換 σ に対して、embed(JσK) ≡σ σ が成り立つ。これにより、SFMTT と WSMTT の間の置換の完全な対応関係が保証される。
• 埋め込み関数は置換を保存する：任意の式 t および置換 σ に対して、embed(t[σ]) ≡σ embed(t)[embed(σ)] が成り立つ。これは命題34で形式化されている。
• 反射性、対称性、推移性、および同値性のための完全な σ 同値性規則のセットが形式的に定義され、一貫性が証明された。
• SFMTT から WSMTT への翻訳は正しい：任意の SFMTT 項または置換の翻訳の埋め込みは、元の項または置換と σ 同値である。
• 証明は構造的帰納法および主要な補題（例：補題31, 33）に依拠しており、これらは埋め込みが置換およびラップ操作の下でどのように振る舞うかを確立している。