[論文レビュー] A space-time covariance function for spatio-temporal random processes and spatio-temporal prediction (kriging)

T. Subba Rao, György Terdik|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

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ひとこと要約

本稿では、空間データの離散フーリエ変換（DFT）を用いた、定常な空間時系列過程のための新規な空間時系列共分散関数を提案する。この手法により、周波数領域アプローチを用いた効率的なクリギング予測が可能となる。DFTを複素数値過程とみなし、複素数確率的偏微分方程式（CSPDE）に従うようにモデル化することで、時間離散化を回避し、周波数変動量に基づく推定法により高速かつロバストな推定が可能となり、古典的手法（尤度法や変動量法）に比べて計算速度が速く、非ガウス性に対してもロバストである。

ABSTRACT

We consider a stationary spatio-temporal random process and assume that we have a sample. By defining a sequence of discrete Fourier transforms at canonical frequencies at each location, and using these complex valued random varables as observed sample, we obtain expressions for the spatio-temporal covariance functions and the spectral density functions of the spatio-temporal random processes. These spectra correspond to non separable class of random processes. The spatio-temporal covariance functions, obtained here are functions of the spatial distance and the temporal frequency and are similar to Matern class. These are in terms of modified Bessel functions of the second kind. and the parameters are in terms of the second order spectral density functions of the random proces and the spatial distances. We consider the estimation of the parameters of the covariance function and also briefly mention their asymptotic properties. The estimation of the entire data at a known location, and also the estimation of a value given the above sample is also considered. The predictors are obtained using the vectors of Discrete Fourier Transforms. We also describe a statistical test for testing the independence of the m spatial time series (testing for spatial independence) using the Finite Fourier Transforms and it is based on the likelihood ratio test of complex valued random variables The methods are illustrated with real data. Keywords: Discrete Fourier Transforms, Covariance functions, Spectral density functions, Space-Time Processses, Prediction(kriging) Laplacian operators, Frequency Variogram, Tests for independence, Whittle likelihood.

研究の動機と目的

• 空間的および時系列的依存性を有する定常確率過程の空間時系列予測（クリギング）を、計算的に効率的かつロバストに実現すること。
• 未観測地点における欠損データの推定を、周波数領域技術を用いた空間時系列共分散構造のモデル化によって解決すること。
• 尤度ベース手法の計算負荷を回避し、変動量法の感度問題を解消するために、DFTに基づく周波数変動量アプローチを導入すること。
• 既存のモデル（[11]、[12]、[20] など）を一般化する非分離的かつ正定値の空間時系列共分散関数を導出すること。
• 大規模な共分散行列の逆行列計算を必要とせず、高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムを活用した効率的なパラメータ推定を可能とすること。

提案手法

• 複数の空間位置における空間時系列時系列データを、フーリエ周波数における離散フーリエ変換（DFT）に変換し、DFTを複素数値観測値として扱う。
• DFTを、空間座標にのみ関係するラプラシアン型の複素数確率的偏微分方程式（CSPDE）に従う複素数値定常過程とモデル化する。
• フーリエ変換を用いたスペクトル表現を導出し、空間的距離と時間周波数に依存する共分散関数を導き、非分離的プロセスクラスを獲得する。
• パラメータ推定に周波数変動量アプローチを用い、行列逆行列計算を回避し、非ガウス性に対してもロバストである。
• DFTはFejérカーネルを用いた漸近的近似が行われ、スペクトル表現が波数空間積分を含む形に収束することが保証される。
• 未観測地点における予測は、推定されたスペクトル密度および共分散関数を用い、クリギングフレームワークに基づいた予測区間を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DFTに基づく周波数領域アプローチは、空間時系列クリギングにおいて、古典的手法（尤度法や変動量法）の計算的代替手段として効率的であるか？
• RQ2 空間にのみ関係する複素数確率的偏微分方程式（CSPDE）を用いて、空間時系列データのDFTをモデル化し、有効で非分離的な空間時系列共分散関数を導出できるか？
• RQ3 提案された周波数変動量推定法は、大規模な共分散行列の逆行列計算を必要とせず、ロバストかつ正確なパラメータ推定を提供するか？
• RQ4 このモデルは、[11]、[12]、[20] における既存の空間時系列共分散関数をどの程度一般化できるか？
• RQ5 この手法は、大規模な欠損値を含む実世界の空間時系列データ（例：大気汚染測定値）を効果的に処理できるか？

主な発見

• 導出された空間時系列共分散関数は非分離的であり、空間ラグと時間周波数に依存するため、分離可能な代替モデルよりも柔軟性に優れる。
• 高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムを活用することで、古典的手法（尤度法や変動量法）と比較して著しく計算時間を短縮する、計算的効率性を達成している。
• 周波数変動量推定法はガウス性からの逸脱に対してもロバストであり、大規模な共分散行列の逆行列計算を回避できる。
• 本モデルは、[11]、[12]、[20] における空間時系列プロセスを特別なケースとして含み、一般性と統合的潜在能力を示している。
• ニューヨーク市におけるPM2.5濃度の実データ応用では、場所11の欠損値を正確な予測区間とともに効果的に推定し、強い実証的性能を示した。
• FejérカーネルによるDFTの漸近的近似により、スペクトル表現が波数空間積分を含む形に収束することが保証され、理論的整合性が確保されている。