[論文レビュー] A space-time hybridizable discontinuous Galerkin method for linear free-surface waves

Giselle Sosa Jones, Jeonghun J. Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、角柱型の空間時間メッシュを用いて線形自由表面波をシミュレートするための、新規の空間時間ハイブリッド不連続ガラーキン（HDG）法を提示する。重み付き内積を用いた混合型式により、問題の適切な定式化が保証され、流体の速度を直接計算可能となる。事前誤差解析により、空間および時間における収束の明示的評価がなされ、波源シミュレーションを含む数値実験によって検証されており、空間方向で次数p+1、時間方向で次数pの最適収束率が達成されている。

ABSTRACT

We present and analyze a novel space-time hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for the linear free-surface problem on prismatic space-time meshes. We consider a mixed formulation which immediately allows us to compute the velocity of the fluid. In order to show well-posedness, our space-time HDG formulation makes use of weighted inner products. We perform an a priori error analysis in which the dependence on the time step and spatial mesh size is explicit. We provide two numerical examples: one that verifies our analysis and a wave maker simulation.

研究の動機と目的

• 流体動力学における線形自由表面波問題に対して、安定的かつ高次の精度を有する数値法の開発。
• 自由表面に起因する領域変形の課題に対処するため、角柱メッシュ上での空間時間型式を用いる。
• 重み付き内積の導入により、離散的定式化の適切な定式化を保証する。
• 後処理を回避するため、混合型式により流体速度の直接計算を可能にする。
• 空間メッシュサイズと時間ステップに明示的な依存関係を有する事前誤差解析を実施する。

提案手法

• 速度-圧力型式を用いて、空間時間における線形自由表面問題を混合弱形式で定式化する。
• 空間時間にわたるハイブリッド不連続ガラーキン（HDG）離散化を適用し、要素の面に位置するトレース変数を導入して静的縮退を実現する。
• 変分形式において重み付き内積を用いることで、離散問題の適切な定式化を証明する。
• 空間時間の角柱要素および重み付きノルムに特化した射影に基づく事前誤差解析を採用する。
• 誤差推定における空間的および時間的依存性を分離するための異方的スケーリング恒等式を導出する。
• 非有界領域および波源設定における数値実験を実施し、理論的収束率の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き内積を用いることで、線形自由表面波に対する空間時間HDG法を定式化し、その適切な定式化を証明できるか？
• RQ2 提案された混合型式により、後処理を伴わず流体速度を直接計算可能か？
• RQ3 空間時間HDG離散化における誤差が空間メッシュサイズおよび時間ステップにどのように依存するか、明示的に特定できるか？
• RQ4 多項式次数pに対して、空間方向でO(h^p+1)、時間方向でO(Δt^p)の最適収束率を達成できるか？
• RQ5 時間ステップが空間メッシュサイズと適切にバランスされない場合、長時間シミュレーションにおいてこの手法はどのように性能を示すか？

主な発見

• 重み付き内積の導入により、空間時間HDG定式化が適切に定式化されており、安定性および収束解析において不可欠な役割を果たしている。
• 数値結果により、最適収束率が確認された：空間方向でO(h^p+1)、時間方向でO(Δt^p)（p = 1, 2, 3の各次数で確認）。
• 固定された空間メッシュに対して、時間メッシュの過剰な細分化は誤差の発散を引き起こすことが判明し、空間時間法におけるΔt/hの適切なバランスの重要性が強調された。
• 波源シミュレーションは、低減衰の数値的特性を有し、波の生成・伝播・反射を正確に捉える能力を示している。
• 多項式次数を高める（p = 2, 3）ことで、p = 1に比べて著しく減衰の少ない解が得られ、高次精度の利点が裏付けられた。
• 誤差解析により、空間的および時間的収束の依存関係が明示的に分離されており、空間時間メッシュサイズのみに依存する手法に比べ、誤差の原因をより明確に理解できるようになった。