[論文レビュー] A sparse spectral method for Volterra integral equations using orthogonal polynomials on the triangle

Timon S. Gutleb, Sheehan Olver|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、三角形領域上の2変数直交多項式を用いて、第1種および第2種のボルテラ積分方程式を解くスパーススペクトル法を提示する。重み付きジャコビ多項式基底におけるボルテラ作用素のスパarsityを活用し、多次元クレンシャウ法を用いることで、畳み込み型カーネルに限定されない場合でさえ、指数的収束と高い効率性を達成する。収束の厳密な証明は、トーペリッツ作用素への接続によってなされる。

ABSTRACT

We introduce and analyse a sparse spectral method for the solution of Volterra integral equations using bivariate orthogonal polynomials on a triangle domain. The sparsity of the Volterra operator on a weighted Jacobi basis is used to achieve high efficiency and exponential convergence. The discussion is followed by a demonstration of the method on example Volterra integral equations of the first and second kind with known analytic solutions as well as an application-oriented numerical experiment. We prove convergence for both first and second kind problems, where the former builds on connections with Toeplitz operators.

研究の動機と目的

• 第1種および第2種のボルテラ積分方程式を解くための効率的で高次の数値解法を開発すること。
• 既存のソルバが畳み込み型カーネルに限定されているという制限を克服すること。
• 三角形上での2変数ジャコビ多項式基底におけるボルテラ作用素のスパarsityを活用して、計算効率を高めること。
• 作用素論的ツールを用いて、第1種および第2種の問題における収束理論を厳密に確立すること。
• カーネルの多項式近似と摂動論的解析を通じて、非多項式カーネルへの適用可能性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、三角形領域上での2変数直交多項式を用いて、カーネル関数および解関数をスペクトル基底で表現する。
• 重み付きジャコビ多項式基底におけるボルテラ積分作用素のスパarsityを活用することで、高い計算効率を達成する。
• ボルテラ積分の効率的計算および得られる線形系の解法に、クレンシャウのアルゴリズムの多次元版を採用する。
• 本手法は積分方程式を帯状線形系に変換し、スパース行列技術を用いて高速に解けるようにする。
• 収束解析のため、ボルテラ作用素を、特に第1種方程式において、トーペリッツ作用素のコンactな摂動に接続する。
• カーネルの多項式近似と摂動論的理論を用いて、本手法を非多項式カーネルへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形上での2変数直交多項式に基づくスペクトル法は、第1種および第2種のボルテラ積分方程式に対して、高精度かつ高効率を達成できるか？
• RQ2 ジャコビ多項式基底におけるボルテラ作用素のスパarsityは、計算コストの低減にどのように活用できるか？
• RQ3 多くの既存のスペクトルソルバとは異なり、本手法は畳み込み型カーネルに限定されず、非畳み込み型カーネルにも適用可能か？
• RQ4 特に第1種方程式において、本手法の収束の理論的根拠は何か？
• RQ5 収束性を保ちつつ、非多項式カーネルへどのように拡張できるか？

主な発見

• 本手法は、第1種および第2種のボルテラ積分方程式に対して指数的収束を達成し、トーペリッツ作用素への接続および有限部分法を用いて収束を証明した。
• ボルテラ作用素は、ジャコビ多項式基底における三角形上ですべて帯状構造を示し、これにより得られる線形系が効率的に解ける。
• 基底および定義域の選択のおかげで、畳み込み型ソルバに比べてより広いカーネルクラスに適用可能である。
• 第1種方程式において、本手法の収束は作用素のフレドホルム性に依存しており、K(x,x) ≠ 0 であり、x=yで特異的でない場合に成立する。
• カーネルが次数を増加させる多項式で近似されるとき、解列uMはM→∞で真の解uに収束し、摂動論的理論から誤差評価が導かれる。
• 数値実験により、トロイ問題および応用指向の例（特異方程式も含む）において、高精度かつ高効率であることが確認された。