[論文レビュー] A spectral decomposition of the attractor of piecewise contracting maps of the interval

A. Calderón, Eleonora Catsigeras+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限個の不連続点および極値をもつ区分的収縮区間写像（PCIM）の吸引集合について、スペクトル分解を確立する。吸引集合は、有限個の最小成分に分解され、それぞれが周期軌道または最小カントール集合であることを証明する。各成分は、不連続点または極値点における片側極限のω-極限集合として生じる。これにより、漸近的挙動の完全な位相的および力学的特徴づけがなされる。

ABSTRACT

We study the asymptotic dynamics of piecewise contracting maps defined on a compact interval. For maps that are not necessarily injective, but have a finite number of local extrema and discontinuity points, we prove the existence of a decomposition of the support of the asymptotic dynamics into a finite number of minimal components. Each component is either a periodic orbit or a minimal Cantor set and such that the $\omega$-limit set of (almost) every point in the interval is exactly one of these components. Moreover, we show that each component is the $\omega$-limit set, or the closure of the orbit, of a one-sided limit of the map at a discontinuity point or at a local extremum.

研究の動機と目的

• 区分的収縮写像がコンパクト区間上で定義されるとき、その吸引集合の位相的および力学的構造を特徴づけること。
• 任意の複雑さと収縮部分の数をもつ吸引集合を記述するという未解決問題を解決すること。
• 吸引集合が有限個の最小成分に分解され、それぞれが周期軌道または最小カントール集合であることを証明すること。
• 各成分が、不連続点または局所極値点における片側極限のω-極限集合として生じることを示すこと。
• 収縮部分の数および不連続点の数を用いて、このような成分の数の上限を確立すること。

提案手法

• 不連続点を除いた集合 X\∆ の正の反復像の共通部分として吸引集合 Λ を定義する。
• 不連続点および極値点における片側極限の集合 D を導入し、D ⊂eX であると仮定することで、漸近的力学が適切に定義されることを保証する。
• ω-極限集合および擬不変集合を定義し、特に eX に属する点の長期的挙動を分析する。
• ∆lr（左および右極限が同じω-極限集合に属する点）上の同値関係 ∼+ を導入し、部分順序 ≼+ における最小クラスを定義する。
• 各最小クラスが一意な eX-最小カントール集合に対応し、それがそのクラスに属する点における片側極限のω-極限集合であることを証明する。
• 収縮性質および軌道の閉包に関する議論を用いて、最小クラスの点における d+ または d− の軌道の閉包が、対応するカントール集合に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト区間上で定義された区分的収縮写像の吸引集合は、有限個の最小力学的成分に分解可能か？
• RQ2 このような分解における各成分の位相的性質（周期軌道かカントール集合か）は何か？
• RQ3 これらの成分は、不連続点または極値点における写像の片側極限とどのように関係しているか？
• RQ4 収縮部分の数および不連続点の数を用いて、このような成分の最大数は何か？
• RQ5 eX に属する任意の点のω-極限集合は、∆ 内の特定の点における片側極限によって完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 吸引集合 Λ は、有限個の最小成分に分解される：周期軌道 O1,…,ON1 および eX-最小カントール集合 K1,…,KN2。
• 任意の x ∈eX に対して、ω-極限集合 ω(x) は、ちょうど一つの成分に一致する：周期軌道 Oi またはカントール集合 Kj。
• 各カントール集合 Kj は少なくとも一つの収縮部分の境界点 ck を含み、Kj はそのような点における d+k または d−k の軌道の閉包である。
• ck ∈Kj かつ ck が Kj のギャップに属さない場合、O(d+k) = O(d−k) が成り立ち、両方の片側極限が同じ軌道閉包を生成する。
• 成分の総数は 1 ≤ N1 + N2 ≤ #D および N1 + 2N2 ≤ 2(N−1) を満たし、N2 = N−1 のとき等号が成立し、その場合 N1 = 0 となる。
• f が各部分で増加関数であるとき、不等式は N1 + N2 ≤ N に簡略化され、成分の数が部分の数によって上限を持つことが示される。