[論文レビュー] A spectral-infinite-element solution of Poisson's equation: an application to self gravity

Hom Nath Gharti, Jeroen Tromp|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、地球内部のスペクトル要素と外部重力場のマッピング無限要素を組み合わせたスペクトル-無限要素法を提案する。この手法により、非有界領域におけるポアソン方程式の高精度かつ高効率な解法が可能になる。スペクトル要素ではガウス＝レジェンドル＝ロバチの数値積分を、無限方向にはガウス＝ラダウ積分を用いることで、均質球体およびPREMモデルに対する解析解と比較して極めて小さな誤差で妥当性を検証した。

ABSTRACT

We solve Poisson's equation by combining a spectral-element method with a mapped infinite-element method. We focus on problems in geostatics and geodynamics, where Earth's gravitational field is determined by Poisson's equation inside the Earth and Laplace's equation in the rest of space. Spectral elements are used to capture the internal field, and infinite elements are used to represent the external field. To solve the weak form of Poisson/Laplace equation, we use Gauss-Legendre-Lobatto quadrature in spectral elements inside the domain of interest. Outside the domain, we use Gauss-Radau quadrature in the infinite direction, and Gauss-Legendre-Lobatto quadrature in the other directions. We illustrate the efficiency and accuracy of the method by comparing the gravitational fields of a homogeneous sphere and the Preliminary Reference Earth Model (PREM) with (semi-)analytical solutions.

研究の動機と目的

• 地質統計学および地球動力学に関連する非有界領域におけるポアソン方程式を解く高次数の数値法の開発を目的とする。
• 重力場シミュレーションにおいて無限遠における境界条件を数値的に強制する課題に対処することを目的とする。
• 後期氷河期リバウンドや地震波動伝播などの地球物理的問題における自己重力と連続体力学の高精度な結合を可能とすることを目的とする。
• 均質球体およびPREM地球モデルに対する半解析的解と比較して、本手法の妥当性を検証することを目的とする。
• 並列実装による最小限の計算コストで、本手法の効率性と安定性を示すこと。

提案手法

• 内部領域にはスペクトル要素、外部場にはマッピングされた無限要素を組み合わせ、座標上昇法により無限領域を有限な計算要素に変換する。
• スペクトル要素では、内部領域における高次精度を実現するため、ガウス＝レジェンドル＝ロバチ積分を適用する。
• 無限方向にはガウス＝ラダウ積分を用い、他の方向にはガウス＝レジェンドル＝ロバチ積分を用いることで、一貫性と効率性を確保する。
• ノードベースのスペクトル要素を用いて、対角質量行列を有する弱形式のポアソン方程式およびラプラス方程式を解き、時間領域シミュレーションの効率化を図る。
• 地球モデルと無限要素層との間に遷移層を追加することで、表面近傍の精度を向上させる。
• PETScを用いた並列実装とParaView/VTKによる可視化により、スケーラビリティと再現可能性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル-無限要素法は、三次元非有界領域における自己重力のポアソン方程式を高精度に解くことができるか？
• RQ2 均質球体およびPREM地球モデルに対する半解析的解と比較して、本手法の性能はいかがであるか？
• RQ3 要素あたり3点のガウス＝レジェンドル＝ロバチ点を用いる場合、解の精度と安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 本手法は、地球動力学的シミュレーションにおける連続体力学ソルバーと効率的に結合可能か？
• RQ5 無限要素層の追加が、地球表面付近およびその外側における重力場計算の精度に与える影響は何か？

主な発見

• スペクトル-無限要素法は、均質球体の重力ポテンシャルについて解析解と極めて良好に一致し、径方向プロファイルにおける誤差は0.1%未満にとどまる。
• PREMモデルにおいては、計算された重力加速度が半解析的解と一致しており、コア-マントル境界付近で線形に増加し、地球表面まではほぼ一定値を示す。
• 滑らかな解に対しては、要素あたり3点のガウス＝レジェンドル＝ロバチ点のみでさえも、本手法が高収束率を示すことが判明した。
• r = 4000 mまで延長したモデルに無限要素層を追加した場合、解析解と区別できない結果が得られ、本手法の外空間における頑健性を確認した。
• 本手法は安定的かつ効率的であり、無限要素層に最小限の計算コストしか要しないため、大規模な地球物理的シミュレーションに適している。
• 本手法により、反復的手続を排除した連続体力学ソルバーとの直接結合が可能となり、長周期地震波動および氷河等圧均衡シミュレーションを支援する。