[論文レビュー] A Spectral Sequence Connecting Continuous With Locally Continuous Group Cohomology

Martin Fuchssteiner|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、位相群の連続的群コホモロジーと局所連続的群コホモロジーを関連付けるスペクトル系列を構成し、可縮な位相群に対しては、これら2つのコホモロジー理論が同型であることを証明する。この手法は、可縮性によって列が完全になる行に正確な二重複体に依拠しており、その完全性がコホモロジーの同型を強制する。この結果は、アレクサンダー＝スパンナー・コホモロジーを用いて、滑らかなリー群へと拡張される。

ABSTRACT

We present a spectral sequence connecting the continuous and 'locally continuous' group cohomologies for topological groups. As an application it is shown that for contractible topological groups these cohomology concepts coincide. Similar results for k-groups and smooth cochains on Lie groups are also obtained.

研究の動機と目的

• 位相群の連続的群コホモロジーと局所連続的群コホモロジーの間の関係を確立すること。
• 実係数の $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ のような例で見られるように、連続的群コホモロジーにおける長完全系列の失敗を解消すること。
• 可縮な位相群に対して、連続的群コホモロジーと局所連続的群コホモロジーが一致することを証明すること。
• アレクサンダー＝スパンナー・コホモロジーを用いて、滑らかな変換群およびリー群へこの結果を一般化すること。

提案手法

• 行と列がそれぞれ $C_{cg}^{*}(G;V)$ と $C_{c}^{*}(G;V)$ によって拡張される、行に正確な二重複体 $A_{cg,eq}(G;V)$ を構成すること。
• G の可縮性を用いて、二重複体の列が完全であることを示し、その結果、包含写像 $C_{cg}^{*}(G;V) \hookrightarrow C_{c}^{*}(G;V)$ がコホモロジーに同型を誘導することを示すこと。
• 指数法則と余極限構成を用いて、連続コチェーンと局所連続コチェーンのコチェーン複体を関連付けること。
• 多様体における層コチェーンの余極限とアレクサンダー＝スパンナー・コホモロジーの同型を活用すること。
• スペクトル系列の道具立てを用いて $H_{cg}^{*}(G;V)$ と $H_{c}^{*}(G;V)$ を比較し、可縮性の下で両者が同じコホモロジーに収束することを示すこと。
• 滑らかに可縮なリー群に対しては、包含写像 $\operatorname{colim}A_{s}^{p,*}(M,\mathfrak{U};V) \hookrightarrow A_{AS}^{*}(M;C(M^{p+1},V))$ がコホモロジーに同型を誘導することを確認することで、結果を拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可縮な位相群に対して、連続的群コホモロジーは局所連続的群コホモロジーと一致するか？
• RQ2 なぜ $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ のようなコンパクトハウスドルフ群では、標準的な長完全系列が連続的コホモロジーで失敗するのか？
• RQ3 連続的および局所連続的群コホモロジーを関連付けるスペクトル系列を構成できるか？
• RQ4 包含写像 $C_{cg}^{*}(G;V) \hookrightarrow C_{c}^{*}(G;V)$ がコホモロジーに同型を誘導する条件は何か？
• RQ5 コホモロジーの同型は滑らかなリー群へと拡張可能か？

主な発見

• 可縮な位相群に対して、包含写像 $C_{cg}^{*}(G;V) \hookrightarrow C_{c}^{*}(G;V)$ はコホモロジーに同型を誘導するため、$H_{cg}^{*}(G;V) \cong H_{c}^{*}(G;V)$ が成り立つ。
• $G = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ における連続的コホモロジーの長完全系列の失敗は、局所連続コチェーンを用いることで解消される。
• 二重複体 $A_{cg,eq}(G;V)$ は行に正確であり、可縮性の下で列の完全性がコホモロジー同型を強制する。
• 滑らかに可縮なリー群に対しては、連続的群コホモロジーは、対角における連続的芽を持つ同次群コチェーンのコホモロジーと同型である。
• 可縮多様体 $M$ に対して、層コチェーンの余極限 $\operatorname{colim}A_{s}^{p,*}(M,\mathfrak{U};V)$ のコホモロジーは自明であるため、コホモロジー理論が同型であることが示される。
• 滑らかに可縮なリー群 $G$ に対して、包含写像 $A_{s}^{*}(M;V)^{G} \hookrightarrow A_{sg}^{*}(M;V)^{G}$ はコホモロジーに同型を誘導する。