[論文レビュー] A spectral sequence for Iwasawa adjoints

Uwe Jannsen|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、$p$-進Lie拡大における連続ガロアコホモロジー群と関連するガロアモジュールのIwasawa随伴モジュールを結びつけるスペクトル系列を確立する。有限生成Iwasawaモジュールのスペクトル系列を構成することにより、完備群環上のExt群を用いた一般化されたIwasawa随伴の純代数的道具が得られ、TateモジュールおよびIwasawa理論におけるコホモロジーの構造への応用が重要である。

ABSTRACT

We establish a purely algebraic tool for studying the Iwasawa adjoints of some natural Iwasawa modules for $p$-adic Lie group extensions of number fields, by relating them to certain continuous Galois cohomology groups via a spectral sequence.

研究の動機と目的

• $p$-進Lie拡大におけるガロアモジュールの一般化されたIwasawa随伴を分析する純代数的道具を開発すること。
• 完備群環上のExt群として定義されるIwasawa随伴を、連続ガロアコホモロジー群と関係付けること。
• 有限部分拡大のコホモロジー群の逆極限をIwasawa随伴を用いて計算するスペクトル系列を確立すること。
• スペクトル系列を用いて、非アーベル$p$-進Lie群への古典的Iwasawa双対性結果を拡張すること。
• 非自明なガロア作用におけるTateモジュールの構造およびそのコホモロジーを研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 有限生成$\Lambda$-モジュールのスペクトル系列を構成する。ここで$\Lambda = \mathbb{Z}_p[[\mathcal{G}]]$であり、$\mathcal{G} = \mathrm{Gal}(k_\infty/k)$は$p$-進Lie群である。
• 導来函手$E^i(M) = \mathrm{Ext}^i_\Lambda(M, \Lambda)$を用いて、$\Lambda$-モジュール$M$のIwasawa随伴を定義し、古典的Iwasawa双対性を一般化する。
• Hochschild-Serreスペクトル系列を、$G_{\infty,S} \subset G_S$のペアに係数を$p$-主モジュール$A$として適用し、コホモロジーにおけるスペクトル系列を導出する。
• $A$がアーベル群として$(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^r$に同型であり、$G_S$-モジュールとして離散的であることから、有限生成$\Lambda$-モジュール構造が保証されることを活用する。
• $k' \subset k_\infty$の有限部分拡大および$p^n$- torsionレベルにおける逆極限を用い、離散コホモロジーとTateモジュールの連続コホモロジーを関係付ける。
• プロファイント群コホモロジーにおける一般結果（$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$-モジュールを係数とする）を用いてスペクトル系列を証明し、コホモロジーの$\delta$-函手とExt群の間の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$p$-進Lie拡大におけるガロアモジュールのIwasawa随伴を、連続ガロアコホモロジー群と体系的に関係付けることができるか？
• RQ2 どのスペクトル系列構造が、Ext群$\mathrm{Ext}^i_\Lambda(H^q(G_{\infty,S}, A)^\vee, \Lambda)$と逆極限$\varprojlim_{k', m} H^{p+q}(G_S(k'), A[p^m])$を結びつけるか？
• RQ3 $H^2(G_{\infty,S}, A) = 0$のとき、スペクトル系列はどのように退化または簡略化されるか？
• RQ4 指数$p^n$の有限$p$-主モジュール$A$に対してスペクトル系列はどのように振る舞い、Tateモジュールの連続コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 スペクトル系列を用いて、非アーベル設定における古典的Iwasawa双対性結果を回復または一般化できるか？

主な発見

• スペクトル系列$E_2^{p,q} = \mathrm{Ext}^p_\Lambda(H^q(G_{\infty,S}, A)^\vee, \Lambda) \Rightarrow \varprojlim_{k', m} H^{p+q}(G_S(k'), A[p^m])$は、Iwasawa随伴と有限部分拡大のコホモロジーの間の直接的な関係を提供する。
• $H^2(G_{\infty,S}, A) = 0$のとき、インフレーション写像$\inf^2$の余核は、$\ker(E^1(H^1(G_{\infty,S}, A)^\vee) \to E^3(H^0(G_{\infty,S}, A)^\vee))$に同型であり、弱Leopoldt予想に対するコホモロジー的障害を示す。
• $\mathcal{G} \cong \mathbb{Z}_p^r$のとき、Iwasawa随伴$E^i(M)$は$E^i(M) \cong H^{r+1-i}_{\mathfrak{m}}(M)^\vee$を介して局所コホモロジー群に同型であり、古典的双対性を一般化する。
• スペクトル系列は低次の度で5項完全系列に退化し、$E^1(H^0)^\vee$、$\varprojlim H^1(G_S(k'), T_pA)$、および$E^2(H^0)^\vee$を含むため、計算の道具として有効である。
• 指数$p^n$の有限$p$-主モジュール$A$に対しては、同様のスペクトル系列が存在し、$\Lambda_n = \mathbb{Z}/p^n[[\mathcal{G}]]$を用いて、コホモロジー群は$\mathrm{Ext}^{p+q-1}_{\Lambda_n(G_S)}(A^\vee, \Lambda_n)$に同型である。
• $A$の指数が$p^d$であるとき、$n$に関する$H^m(G_S, A[p^n])$の逆極限は$m \geq 1$で消える。これはMittag-Leffler条件によるものであり、スペクトル系列の安定化を可能にする。