[論文レビュー] A Spectral Sequence for the K-theory of Tiling Spaces

Jean Savinien, Jean Bellissard|ArXiv.org|May 17, 2007

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限局所的複雑性を有する繰り返し的で非周期的なタイリングに対して、タイリング C*-代数の K-理論へ収束するスペクトル系列を導入する。この系列の E2 項は、Pimsner-Voiculescu の完全系列を一般化する新しいコホモロジー理論—PV コホモロジー—で与えられる。本稿は、PV コホモロジーが、有限局所的複雑性を有する繰り返し的で非周期的なタイリングのホメオモルフィズムのホールと同型であることを示し、非ファイブレーション的動的系における K-理論の計算に、自然で位相的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let $\Tt$ be an aperiodic and repetitive tiling of $\RM^d$ with finite local complexity. We present a spectral sequence that converges to the $K$-theory of $\Tt$ with $E_2$-page given by a new cohomology that will be called PV in reference to the Pimsner-Voiculescu exact sequence. It is a generalization of the Serre spectral sequence. The PV cohomology of $\Tt$ generalizes the cohomology of the base space of a fibration with local coefficients in the $K$-theory of its fiber. We prove that it is isomorphic to the Čech cohomology of the hull of $\Tt$ (a compactification of the family of its translates).

研究の動機と目的

• R^d における有限局所的複雑性を有する非周期的で繰り返し的なタイリングに関連する C*-代数の K-理論を計算するための標準的スペクトル系列の構築。
• タイリング空間の文脈において、Pimsner-Voiculescu 完全系列を一般化する新しいコホモロジー理論—PV コホモロジー—の定義と特徴付け。
• PV コホモロジーとタイリングのホールの Čech コホモロジーとの同型性の確立により、K-理論の計算をホールの位相的不変量に結びつける。
• ファイブレーションでないラミネーションに一般化された Serre スペクトル系列の構築を、タイリングの構造に関連する C*-代数のコフィルトレーションを用いて行う。

提案手法

• トーラス T^d の CW 分解に由来するイデアルによる C(Ω) ⋊ R^d のコフィルトレーションを用いてスペクトル系列を構成する。
• スペクトル系列の E2 項として、局所係数を Ξ_Δ の K-理論にとった PV コホモロジー H^r_{PV}(B_0; K^s(Ξ_Δ)) を定義する。
• Thom-Connes 同型を用いて、スペクトル系列が K_{r+s+d}(C(Ω) ⋊ R^d) へ収束することを確立し、この K-理論がホール Ω の位相的 K-理論と同定されることを示す。
• スペクトル系列の微分をモデル化するため、K_*(A) ⊗ Λ^* Z^d 上の Pimsner-Voiculescu コンプレックス d_{PV} = ∑_{i=1}^d (α_{i*} - 1) ⊗ e_i ∧ を用いる。
• K-理論における正確な対と可換図式を用いて、イデアルのフィルトレーションに由来するスペクトル系列と、商のコフィルトレーションに由来するものとの同型性を証明する。
• ラミネーション構造とホール上の動的系を活用することで、PV コホモロジーがホール Ω の Čech コホモロジーと同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイブレーションでないラミネーションに一般化された Serre スペクトル系列を、有限局所的複雑性を有するタイリング空間の C*-代数の K-理論を計算するためのスペクトル系列として構築できるか？
• RQ2 有限局所的複雑性を有するタイリングから生じる Z^d-作用を持つ C*-代数の文脈において、Pimsner-Voiculescu 完全系列をどのように一般化できるか？
• RQ3 動的系の基底空間と、ファイバーの K-理論における局所係数を用いて、タイリング C*-代数の K-理論を捉えるコホモロジー理論は存在するか？
• RQ4 タイリング空間の PV コホモロジーが、そのホールの Čech コホモロジーと一致するか。これにより、スペクトル系列の E2 項の位相的解釈が得られるか？
• RQ5 Z^d 作用の選択に依存しない、より自然な不変量を提供するように、スペクトル系列を標準的に構築できるか？

主な発見

• スペクトル系列は K_{r+s+d}(C(Ω) ⋊ R^d) へ収束し、E2 項は H^r_{PV}(B_0; K^s(Ξ_Δ)) と同型である。これにより、K-理論の計算に体系的な手法が提供される。
• PV コホモロジーはホール Ω の Čech コホモロジーと同型であり、K-理論とタイリング空間の位相的不変量との深い関係が確立される。
• この構成は、ファイブレーションでないラミネーションへの Serre スペクトル系列の一般化を実現し、非周期的タイリング系への適用範囲を拡大する。
• Z^d 作用の選択に依存しないため、逆極限やカントール集合作用に基づく従来の手法よりも、より標準的で内因的な方法を提供する。
• Pimsner-Voiculescu コンプレックス d_{PV} = ∑_{i=1}^d (α_{i*} - 1) ⊗ e_i ∧ は、E2 項における微分を提供し、1次元の場合の一般化を高次元へ拡張する。
• フィルトレーションとコフィルトレーションに由来するスペクトル系列の同型性は、この構成の堅牢性を裏付け、K-理論計算における正確な対の有用性を検証する。